Esercizi svolti · Scheda 2

Flussi del campo di cariche puntiformi

Teoria usata: Legge di Gauss Flusso del campo di una carica puntiforme attraverso una sfera Ruolo delle cariche esterne Angolo solido Flusso uscente da una superficie chiusa

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Esercizio 1

Una superficie chiusa $S$ racchiude le cariche puntiformi $q_{1} = + 3, 0 nC$ e $q_{2} = - 5, 0 nC$ , mentre la carica $q_{3} = + 4, 0 nC$ si trova all’esterno. Calcolare il flusso del campo elettrico uscente da $S$ . Calcolare poi il flusso dopo che la carica $q_{3}$ è stata spostata all’interno di $S$ .

Φ_{E} = \frac{q _{int}}{ε _{0}} = \frac{q _{1} + q _{2}}{ε _{0}}, Φ_{E}^{'} = \frac{q _{1} + q _{2} + q _{3}}{ε _{0}}

Φ_{E} Φ_{E}^{'} = \frac{( 3 , 0 - 5 , 0 ) \cdot 1 0 ^{- 9}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx - 226 N \cdot m^{2} /C = \frac{( 3 , 0 - 5 , 0 + 4 , 0 ) \cdot 1 0 ^{- 9}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx + 226 N \cdot m^{2} /C

Per la legge di Gauss il flusso uscente da una superficie chiusa dipende solo dalla carica che essa racchiude, qualunque sia la forma della superficie. Nella prima situazione la carica interna è $q_{1} + q_{2} = - 2, 0 nC$ , quindi il flusso uscente è negativo, cioè le linee di campo che entrano in $S$ sono più numerose di quelle che escono.

La carica $q_{3}$ esterna contribuisce al campo in ogni punto di $S$ , ma il suo contributo al flusso totale è nullo. Quando $q_{3}$ entra in $S$ , la carica interna diventa $+ 2, 0 nC$ e il flusso cambia segno, restando uguale in modulo.

Esercizio 2

Una carica puntiforme $q = 2, 0 μ C$ si trova nel centro di un cubo. Calcolare il flusso del campo elettrico uscente da una faccia del cubo e il flusso uscente dall’intero cubo.

Φ_{cubo} = \frac{q}{ε _{0}}, Φ_{faccia} = \frac{1}{6} Φ_{cubo} = \frac{q}{6 ε _{0}}

Φ_{cubo} Φ_{faccia} = \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx 2, 3 \cdot 1 0^{5} N \cdot m^{2} /C = \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{6 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx 3, 8 \cdot 1 0^{4} N \cdot m^{2} /C

La carica è interna al cubo, quindi per la legge di Gauss il flusso uscente dal cubo è $\frac{q}{ε _{0}}$ . Le sei facce sono uguali e disposte nello stesso modo rispetto alla carica, perché una rotazione che porta una faccia su un’altra lascia fermo il centro del cubo; perciò i sei flussi sono uguali, e ciascuno è un sesto del flusso totale. Il risultato non dipende dallo spigolo del cubo.

Calcolare direttamente il flusso attraverso una faccia richiederebbe un integrale di superficie, perché sulla faccia il campo cambia modulo e direzione da punto a punto. La simmetria permette di evitarlo.

Esercizio 3

Una carica puntiforme $q = 2, 4 nC$ si trova in un vertice di un cubo. Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso ciascuna faccia del cubo e il flusso uscente totale.

Φ_{grande} = \frac{q}{ε _{0}} = 24 Φ_{f} ⟹ Φ_{f} = \frac{q}{24 ε _{0}}

Φ_{adiacenti} = 0, Φ_{cubo} = 3 Φ_{f} = \frac{q}{8 ε _{0}}

Φ_{f} Φ_{cubo} = \frac{2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 9}}{24 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx 11 N \cdot m^{2} /C = \frac{2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 9}}{8 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} N \cdot m^{2} /C \approx 34 N \cdot m^{2} /C

La carica si trova sulla superficie del cubo, quindi la legge di Gauss non si applica direttamente al cubo. Si considerano allora gli otto cubi uguali che hanno quel vertice in comune, e che insieme formano un cubo di spigolo doppio con la carica nel centro. Per la legge di Gauss il flusso uscente dal cubo grande è $\frac{q}{ε _{0}}$ .

La superficie del cubo grande è formata da $24$ facce dei cubi piccoli, tre per ogni cubo piccolo, cioè le tre facce che non contengono il vertice. Queste facce sono tutte disposte nello stesso modo rispetto alla carica, quindi sono attraversate dallo stesso flusso $\frac{q}{24 ε _{0}}$ . Le tre facce del cubo di partenza che contengono il vertice giacciono su piani passanti per la carica, quindi il campo, radiale, è parallelo a esse e il loro flusso è nullo. Il flusso uscente dal cubo è perciò $\frac{3 q}{24 ε _{0}} = \frac{q}{8 ε _{0}}$ , un ottavo del flusso totale, perché il cubo occupa un ottavo delle direzioni che escono dalla carica.

Esercizio 4

Una carica puntiforme $q = 5, 0 nC$ si trova sull’asse di un disco di raggio $a = 0, 30 m$ , a distanza $d = 0, 40 m$ dal suo centro. Calcolare il flusso del campo della carica attraverso il disco, orientato con la normale rivolta dalla parte opposta alla carica.

Il disco di raggio

a

e la calotta sferica centrata in

q

che ha lo stesso bordo sono attraversati dallo stesso flusso

R_{0} = d^{2} + a^{2}, cos α = \frac{d}{R _{0}}, A_{cal} = \int_{0}^{α} 2 π R_{0} sin φ \cdot R_{0} d φ = 2 π R_{0}^{2} (1 - cos α)

Φ_{disco} = Φ_{cal} = \frac{q}{4 π ε _{0} R _{0}^{2}} \cdot 2 π R_{0}^{2} (1 - cos α) = \frac{q}{2 ε _{0}} (1 - \frac{d}{d ^{2} + a ^{2}})

R_{0} Φ_{disco} = 0, 4 0^{2} + 0, 3 0^{2} m = 0, 50 m, cos α = 0, 80 = \frac{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{2 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} \cdot (1 - 0, 80) N \cdot m^{2} /C \approx 56 N \cdot m^{2} /C

Sul disco il campo cambia modulo e direzione, quindi conviene sostituire il disco con una superficie su cui il campo è semplice. La calotta sferica centrata nella carica, di raggio $R_{0}$ , ha lo stesso bordo del disco; il disco e la calotta delimitano una regione che non contiene cariche. Per la legge di Gauss il flusso uscente da quella regione è nullo, perciò il flusso che entra dal disco è uguale al flusso che esce dalla calotta, cioè il flusso attraverso il disco orientato come richiesto è uguale al flusso attraverso la calotta orientata verso l’esterno.

Sulla calotta il campo è radiale, quindi perpendicolare alla superficie, e ha modulo costante $\frac{q}{4 π ε _{0} R _{0}^{2}}$ ; il flusso è il prodotto di questo modulo per l’area della calotta. L’area si ottiene sommando le strisce comprese fra gli angoli $φ$ e $φ + d φ$ dall’asse, che hanno raggio $R_{0} sin φ$ e larghezza $R_{0} d φ$ . Il raggio $R_{0}$ si semplifica, e il flusso dipende solo dall’angolo $α$ , cioè dall’angolo solido $2 π (1 - cos α)$ sotto cui il disco è visto dalla carica.

Con $cos α = 0, 80$ attraverso il disco passa un decimo del flusso totale $\frac{q}{ε _{0}} \approx 565 N \cdot m^{2} /C$ . Come controllo, quando il raggio del disco cresce senza limite $cos α$ tende a zero e il flusso tende a $\frac{q}{2 ε _{0}}$ , la metà del totale, perché un piano infinito divide in due parti uguali le direzioni che escono dalla carica.