Esercizi svolti · Scheda 3

Selettori di velocità e spettrometri di massa

Teoria usata: Selettore di velocità Spettrometro di massa Forza elettrica e forza magnetica insieme Moto circolare in un campo magnetico uniforme

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

In un selettore di velocità le due armature piane parallele distano $d = 1, 0 cm$ e tra esse c’è la differenza di potenziale $Δ V = 300 V$ ; il campo magnetico, perpendicolare al campo elettrico, vale $B = 0, 15 T$ . Calcolare la velocità delle particelle che attraversano il selettore senza deviare, e stabilire verso quale armatura sono deviati i protoni con velocità $2, 5 \cdot 1 0^{5} m/s$ , sapendo che la forza elettrica su una carica positiva è diretta verso l’armatura negativa.

E = \frac{Δ V}{d}, q E = q v B ⟹ v = \frac{E}{B} = \frac{Δ V}{B d}

E v = \frac{300}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 2}} V/m = 3, 0 \cdot 1 0^{4} V/m = \frac{3 , 0 \cdot 1 0 ^{4}}{0 , 15} m/s = 2, 0 \cdot 1 0^{5} m/s

v^{'} = 2, 5 \cdot 1 0^{5} m/s > \frac{E}{B} ⟹ e v^{'} B > e E

Tra due armature piane parallele il campo elettrico è uniforme, trascurando gli effetti di bordo, e vale $\frac{Δ V}{d}$ . Per il selettore di velocità passano senza deviare le particelle per cui la forza elettrica e la forza magnetica, opposte, hanno lo stesso modulo, cioè quelle con $v = \frac{E}{B} = 2, 0 \cdot 1 0^{5} m/s$ . Il risultato non dipende dalla carica né dalla massa.

Un protone più veloce subisce una forza magnetica maggiore della forza elettrica, che invece non dipende dalla velocità; perciò prevale la forza magnetica, opposta alla forza elettrica, e il protone è deviato verso l’armatura positiva.

Esercizio 2

In uno spettrometro di massa ioni $^{6} Li^{+}$ e $^{7} Li^{+}$ , di carica $e$ e masse $6, 0 u$ e $7, 0 u$ , partono praticamente da fermi, sono accelerati dalla differenza di potenziale $Δ V = 2, 0 kV$ ed entrano in un campo magnetico uniforme $B = 0, 40 T$ perpendicolare alla loro velocità. Calcolare i raggi delle due traiettorie e la distanza tra i punti in cui i due isotopi colpiscono la lastra. Si usi $1 u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

e Δ V = \frac{1}{2} m v^{2}, r = \frac{m v}{e B} ⟹ r = \frac{1}{B} \frac{2 m Δ V}{e}, Δ x = 2 (r_{7} - r_{6})

r_{6} r_{7} Δ x = \frac{1}{0 , 40} \frac{2 \cdot 6 , 0 \cdot 1 , 66 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{3}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} m \approx 3, 945 \cdot 1 0^{- 2} m = r_{6} \frac{7 , 0}{6 , 0} \approx 4, 261 \cdot 1 0^{- 2} m = 2 \cdot (4, 261 - 3, 945) \cdot 1 0^{- 2} m \approx 6, 3 \cdot 1 0^{- 3} m

Gli ioni hanno la stessa carica e sono accelerati dalla stessa differenza di potenziale, quindi hanno la stessa energia cinetica $e Δ V$ e velocità diverse. Per lo spettrometro di massa il raggio è proporzionale alla radice della massa, perciò il rapporto dei raggi è $\frac{7}{6}$ , e basta calcolare un solo raggio.

Ogni ione colpisce la lastra dopo mezzo giro, alla distanza $2 r$ dalla fenditura, quindi la distanza tra i due punti di impatto è il doppio della differenza dei raggi, circa $6, 3 mm$ . Per aumentare la separazione si può diminuire il campo, perché $r$ è inversamente proporzionale a $B$ , oppure aumentare la tensione di accelerazione.

Esercizio 3

In uno spettrometro di Bainbridge ioni di carica $e$ attraversano un selettore di velocità con campo elettrico $E = 1, 2 \cdot 1 0^{5} V/m$ e campo magnetico $B_{1} = 0, 30 T$ ; all’uscita entrano in un campo magnetico uniforme $B_{2} = 0, 60 T$ , perpendicolare alla loro velocità, e colpiscono la lastra a $27, 7 cm$ dalla fenditura. Calcolare la massa degli ioni, in chilogrammi e in unità di massa atomica, e la distanza dalla fenditura alla quale arriverebbero ioni della stessa carica con massa $22 u$ . Si usi $1 u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

Gli ioni attraversano il selettore (campi

E

B_{1}

) e, nel campo

B_{2}

, descrivono semicirconferenze di diametro

27, 7 cm

per

20 u

30, 4 cm

per

22 u

v = \frac{E}{B _{1}}, 2 r = \frac{2 m v}{e B _{2}} ⟹ m = \frac{e B _{1} B _{2} r}{E}, 2 r^{'} = \frac{2 m ^{'} E}{e B _{1} B _{2}}

v m m 2 r^{'} = \frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{5}}{0 , 30} m/s = 4, 0 \cdot 1 0^{5} m/s = \frac{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 60 \cdot 0 , 1385}{4 , 0 \cdot 1 0 ^{5}} kg \approx 3, 32 \cdot 1 0^{- 26} kg \approx \frac{3 , 32 \cdot 1 0 ^{- 26}}{1 , 66 \cdot 1 0 ^{- 27}} u \approx 20, 0 u = \frac{2 \cdot 22 \cdot 1 , 66 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 1 , 2 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 30 \cdot 0 , 60} m \approx 0, 304 m = 30, 4 cm

Il selettore di velocità lascia passare solo gli ioni con $v = \frac{E}{B _{1}}$ , quindi tutti gli ioni che entrano nel campo $B_{2}$ hanno la stessa velocità, $4, 0 \cdot 1 0^{5} m/s$ . Nel campo $B_{2}$ , per il moto circolare in un campo magnetico uniforme, ogni ione descrive mezza circonferenza di raggio $\frac{m v}{e B _{2}}$ e colpisce la lastra alla distanza $2 r$ ; il raggio misurato è $13, 85 cm$ , da cui segue la massa.

La massa vale circa $20, 0 u$ , il valore dell’isotopo più abbondante del neon. A parità di velocità e di carica il raggio è proporzionale alla massa, quindi gli ioni di $22 u$ arrivano alla distanza $\frac{2 m ^{'} E}{e B _{1} B _{2}} \approx 30, 4 cm$ dalla fenditura, a circa $2, 7 cm$ dagli altri. In questo spettrometro la distanza è proporzionale alla massa, mentre nello spettrometro con sola accelerazione è proporzionale alla radice della massa.