Esercizi svolti · Scheda 2

Moti circolari in un campo magnetico uniforme

Teoria usata: Moto circolare in un campo magnetico uniforme Raggio, quantità di moto ed energia Lavoro della forza magnetica

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Esercizio 1

Un elettrone entra con velocità $v = 4, 0 \cdot 1 0^{6} m/s$ in un campo magnetico uniforme di modulo $B = 2, 0 \cdot 1 0^{- 3} T$ , entrante nel foglio e perpendicolare alla velocità. Calcolare il raggio della traiettoria, il periodo e la frequenza del moto, e stabilire il verso di rotazione.

L'elettrone, con carica negativa, in un campo entrante nel foglio percorre la circonferenza in verso orario

e v B = m_{e} \frac{v ^{2}}{r} ⟹ r = \frac{m _{e} v}{e B}, T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m _{e}}{e B}, f = \frac{1}{T}

r T f = \frac{9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot 4 , 0 \cdot 1 0 ^{6}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} m \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 2} m = \frac{2 π \cdot 9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} s \approx 1, 8 \cdot 1 0^{- 8} s = \frac{1}{1 , 79 \cdot 1 0 ^{- 8} s} \approx 5, 6 \cdot 1 0^{7} Hz

L’unica forza sull’elettrone è la forza magnetica, che ha modulo costante $e v B$ ed è perpendicolare alla velocità; per il moto circolare in un campo magnetico uniforme l’elettrone percorre una circonferenza, e la forza magnetica fornisce l’accelerazione centripeta. Da questa uguaglianza segue il raggio, circa $1, 1 cm$ , e il periodo, che non dipende dalla velocità.

Per il verso si considera il punto più basso della traiettoria, dove la forza deve essere diretta verso l’alto, cioè verso il centro. Con il campo entrante, $B = - B \hat{k}$ , e la velocità verso sinistra, $v = - v \overset{}{^}$ , si ha $v \times B = v B (\overset{}{^} \times \hat{k}) = - v B \overset{}{^}$ , diretto verso il basso; la carica è negativa, quindi la forza $- e v \times B$ è diretta verso l’alto. L’elettrone gira perciò in verso orario.

Esercizio 2

Un protone, inizialmente fermo, viene accelerato dalla differenza di potenziale $Δ V = 5, 0 kV$ ed entra in un campo magnetico uniforme $B = 0, 25 T$ perpendicolare alla sua velocità. Calcolare la velocità del protone, il raggio della traiettoria e il tempo che impiega a percorrere mezza circonferenza. La massa del protone è $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

e Δ V = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} ⟹ v = \frac{2 e Δ V}{m _{p}}, r = \frac{m _{p} v}{e B}, t = \frac{T}{2} = \frac{π m _{p}}{e B}

v r t = \frac{2 \cdot 1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{3}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}} m/s \approx 9, 8 \cdot 1 0^{5} m/s = \frac{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 9 , 79 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 25} m \approx 4, 1 \cdot 1 0^{- 2} m = \frac{π \cdot 1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 25} s \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 7} s

Durante l’accelerazione il campo elettrico compie sul protone il lavoro $e Δ V$ , e il protone parte da fermo; per il teorema dell’energia cinetica questo lavoro è uguale all’energia cinetica finale, $5, 0 keV$ , da cui segue la velocità. Nel campo magnetico la velocità è perpendicolare a $B$ , quindi per il moto circolare in un campo magnetico uniforme il protone descrive una circonferenza di raggio circa $4, 1 cm$ .

Per il lavoro della forza magnetica il modulo della velocità resta $9, 8 \cdot 1 0^{5} m/s$ per tutto il moto, e mezza circonferenza richiede metà del periodo. Come controllo, $π r$ diviso per $v$ dà $\frac{π \cdot 4 , 09 \cdot 1 0 ^{- 2}}{9 , 79 \cdot 1 0 ^{5}} s \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 7} s$ , lo stesso valore.

Esercizio 3

Un protone e una particella alfa, con carica $2 e$ e massa $m_{α} \approx 4 m_{p}$ , hanno la stessa energia cinetica $K = 1, 0 MeV$ e si muovono in un campo magnetico uniforme $B = 0, 80 T$ , perpendicolarmente al campo. Calcolare il raggio della traiettoria e il periodo di ciascuna particella. La massa del protone è $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

r = \frac{2 m K}{∣ q ∣ B}, T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}

r_{α} = \frac{2 \cdot 4 m _{p} K}{2 e B} = \frac{2 m _{p} K}{e B} = r_{p}, T_{α} = \frac{2 π \cdot 4 m _{p}}{2 e B} = 2 T_{p}

K r_{p} T_{p} = 1, 0 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} J = 1, 6 \cdot 1 0^{- 13} J = \frac{2 \cdot 1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 13}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 80} m = \frac{2 , 31 \cdot 1 0 ^{- 20}}{1 , 28 \cdot 1 0 ^{- 19}} m \approx 0, 18 m = \frac{2 π \cdot 1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 80} s \approx 8, 2 \cdot 1 0^{- 8} s, T_{α} \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 7} s

L’energia cinetica è data in elettronvolt e va convertita in joule. La quantità di moto si esprime con l’energia cinetica, $m v = 2 m K$ , e per il legame tra raggio, quantità di moto ed energia si ottiene la formula del raggio in funzione di $K$ . Per la particella alfa la massa è quattro volte maggiore e la carica doppia; il numeratore raddoppia, perché contiene la radice della massa, e il denominatore raddoppia, quindi i due raggi sono uguali, circa $18 cm$ .

Il periodo è proporzionale al rapporto $\frac{m}{∣ q ∣}$ , che per la particella alfa è doppio rispetto al protone; perciò la particella alfa impiega il doppio del tempo a percorrere la stessa circonferenza, coerentemente con il fatto che, a parità di energia, è due volte più lenta. La velocità del protone è $\frac{2 K}{m _{p}} \approx 1, 4 \cdot 1 0^{7} m/s$ , circa il $5 %$ di $c$ , quindi la trattazione non relativistica è adeguata.