Limiti nelle forme $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ con il teorema di De L'Hôpital

Theory used: Teorema di De L'Hôpital Gerarchia degli infiniti

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2}$ .

\lim_{x \to 2} \left( x^3 - 8 \right) = 0, \qquad \lim_{x \to 2} \left( x^2 - x - 2 \right) = 4 - 2 - 2 = 0

\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{2x - 1} = \frac{12}{3} = 4

Per sostituzione numeratore e denominatore tendono entrambi a $0$ , quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$ . Numeratore e denominatore sono polinomi, perciò sono derivabili, e la derivata del denominatore, $2x - 1$ , è diversa da $0$ vicino a $2$ . Le ipotesi del teorema di De L’Hôpital sono soddisfatte.

Si derivano separatamente il numeratore e il denominatore, e si ottiene $\dfrac{3x^2}{2x - 1}$ . Questo quoziente non è più in forma indeterminata e per sostituzione vale $\dfrac{12}{3} = 4$ . Il limite di partenza è quindi uguale a $4$ . Lo stesso risultato si ottiene scomponendo $x^3 - 8 = (x - 2)\left( x^2 + 2x + 4 \right)$ e $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ e semplificando il fattore $x - 2$ .

Esercizio 2

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2x)}{x^2}$ .

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2x)}{x^2} \qquad \text{forma } \frac{0}{0}

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2x)}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2x)}{2x} \\[6pt] &= \lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2x)}{2} \\[6pt] &= \frac{4}{2} = 2 \end{aligned}

Per $x \to 0$ si ha $\cos (2x) \to 1$ , quindi il numeratore e il denominatore tendono a $0$ e il limite è nella forma $\dfrac{0}{0}$ . La derivata del numeratore si calcola con la regola della funzione composta. La derivata di $\cos (2x)$ è $-\sin (2x) \cdot 2$ , quindi la derivata di $1 - \cos (2x)$ è $2 \sin (2x)$ . La derivata del denominatore è $2x$ .

Il nuovo quoziente $\dfrac{2 \sin (2x)}{2x}$ è ancora nella forma $\dfrac{0}{0}$ , quindi il teorema di De L’Hôpital si applica una seconda volta. La derivata di $2 \sin (2x)$ è $4 \cos (2x)$ e la derivata di $2x$ è $2$ . Il quoziente $\dfrac{4 \cos (2x)}{2}$ tende a $2$ , quindi il limite di partenza vale $2$ . In alternativa, dopo la prima applicazione si può usare il limite notevole $\dfrac{\sin t}{t} \to 1$ con $t = 2x$ .

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \qquad \text{forma } \frac{\infty}{\infty}

\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \\[6pt] &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} \\[6pt] &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0 \end{aligned}

Il numeratore e il denominatore tendono entrambi a $+\infty$ , quindi il limite è nella forma $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Le due funzioni sono derivabili per $x > 0$ e la derivata del denominatore, $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , è positiva. Il teorema di De L’Hôpital vale anche per $x \to +\infty$ , quindi si può applicare.

Il quoziente delle derivate è una frazione di frazioni. Dividere per $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ equivale a moltiplicare per $2\sqrt{x}$ , quindi si ottiene $\dfrac{2\sqrt{x}}{x}$ . Poiché $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$ , la frazione si semplifica in $\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ , che tende a $0$ . Il limite vale $0$ , in accordo con la gerarchia degli infiniti, con esponente $\dfrac{1}{2}$ .

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x}$ .

\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x} \qquad \text{forma } \frac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{1 - \dfrac{1}{\cos^2 x}}

\begin{aligned} \frac{1 - \cos x}{1 - \dfrac{1}{\cos^2 x}} &= \frac{(1 - \cos x)\cos^2 x}{\cos^2 x - 1} \\[6pt] &= \frac{(1 - \cos x)\cos^2 x}{-(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \\[6pt] &= -\frac{\cos^2 x}{1 + \cos x} \end{aligned}

\lim_{x \to 0} \left( -\frac{\cos^2 x}{1 + \cos x} \right) = -\frac{1}{2}

Per $x \to 0$ si ha $\sin x \to 0$ e $\tan x \to 0$ , quindi il numeratore e il denominatore tendono a $0$ . La derivata del denominatore è $1 - \dfrac{1}{\cos^2 x} = -\tan^2 x$ , che è diversa da $0$ per $x \neq 0$ vicino a $0$ . Le ipotesi del teorema di De L’Hôpital sono quindi soddisfatte.

Il quoziente delle derivate è ancora nella forma $\dfrac{0}{0}$ . Invece di derivare di nuovo, si semplifica l’espressione. Moltiplicando numeratore e denominatore per $\cos^2 x$ , il denominatore diventa $\cos^2 x - 1$ . Questa è una differenza di quadrati, uguale a $-(1 - \cos x)(1 + \cos x)$ , e il fattore $1 - \cos x$ si semplifica con quello del numeratore, perché è diverso da $0$ per $x \neq 0$ vicino a $0$ .

L’espressione $-\dfrac{\cos^2 x}{1 + \cos x}$ non è più indeterminata e per $x \to 0$ tende a $-\dfrac{1}{1 + 1} = -\dfrac{1}{2}$ . Il limite di partenza vale $-\dfrac{1}{2}$ .