Verifiche del teorema di Rolle

Theory used: Teorema di Rolle Teorema di Fermat

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Esercizio 1

Verifica che la funzione $f(x) = x^3 - 9x$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo $[-3, 3]$ e determina i punti $c$ di cui il teorema garantisce l’esistenza.

f(-3) = -27 + 27 = 0, \qquad f(3) = 27 - 27 = 0

f'(x) = 3x^2 - 9

3x^2 - 9 = 0 \iff x^2 = 3 \iff x = -\sqrt{3} \quad \text{oppure} \quad x = \sqrt{3}

c_1 = -\sqrt{3} \approx -1{,}73, \qquad c_2 = \sqrt{3} \approx 1{,}73

y = x^{3} - 9 x

La funzione

f (x) = x^{3} - 9 x

vale

0

- 3

e in

3

; nei punti

- 3

3

le tangenti, tratteggiate, sono orizzontali

La funzione è un polinomio, quindi è continua e derivabile in tutto $\mathbb{R}$ , e in particolare è continua in $[-3, 3]$ e derivabile in $(-3, 3)$ . Agli estremi dell’intervallo assume lo stesso valore, perché $f(-3) = f(3) = 0$ . Le tre ipotesi del teorema di Rolle sono perciò soddisfatte, e il teorema garantisce almeno un punto di $(-3, 3)$ in cui la derivata si annulla.

Per trovare questi punti si risolve l’equazione $f'(x) = 0$ . Dividendo per $3$ si ottiene $x^2 = 3$ , che ha le due soluzioni $\pm\sqrt{3}$ . Poiché $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ , entrambe appartengono a $(-3, 3)$ , quindi i punti cercati sono due, $c_1 = -\sqrt{3}$ e $c_2 = \sqrt{3}$ . Il teorema assicura l’esistenza di almeno un punto, e in questo caso i punti sono più di uno.

Esercizio 2

Verifica che la funzione $f(x) = \sin x + \cos x$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo $[0, 2\pi]$ e determina i punti $c$ di cui il teorema garantisce l’esistenza.

f(0) = 0 + 1 = 1, \qquad f(2\pi) = 0 + 1 = 1

f'(x) = \cos x - \sin x

\cos x - \sin x = 0 \iff \tan x = 1 \qquad \text{con } \cos x \neq 0

x = \frac{\pi}{4} + k\pi \qquad \Longrightarrow \qquad c_1 = \frac{\pi}{4}, \quad c_2 = \frac{5}{4}\pi

Seno e coseno sono continui e derivabili in $\mathbb{R}$ , quindi anche la loro somma lo è. In particolare $f$ è continua in $[0, 2\pi]$ e derivabile in $(0, 2\pi)$ . Inoltre $f(0) = f(2\pi) = 1$ , perché seno e coseno sono periodici di periodo $2\pi$ . Le ipotesi del teorema di Rolle sono quindi soddisfatte.

Nell’equazione $\cos x = \sin x$ si può dividere per $\cos x$ , perché nei punti in cui $\cos x = 0$ si ha $\sin x = \pm 1$ , e l’uguaglianza non vale. Si ottiene $\tan x = 1$ , che ha le soluzioni $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ con $k$ intero. Nell’intervallo aperto $(0, 2\pi)$ cadono i valori con $k = 0$ e $k = 1$ , cioè $c_1 = \dfrac{\pi}{4}$ e $c_2 = \dfrac{5}{4}\pi$ . Il primo è un punto di massimo, dove $f$ vale $\sqrt{2}$ , e il secondo è un punto di minimo, dove $f$ vale $-\sqrt{2}$ .

Esercizio 3

Determina il valore del parametro $k$ per cui la funzione $f(x) = x^3 + kx$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo $[0, 2]$ . Per il valore trovato, determina il punto $c$ del teorema.

f(0) = 0, \qquad f(2) = 8 + 2k

f(0) = f(2) \iff 8 + 2k = 0 \iff k = -4

f(x) = x^3 - 4x, \qquad f'(x) = 3x^2 - 4

3x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}

c = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15

Per ogni valore di $k$ la funzione è un polinomio, quindi è continua in $[0, 2]$ e derivabile in $(0, 2)$ . L’unica ipotesi che dipende da $k$ è l’uguaglianza dei valori agli estremi. Poiché $f(0) = 0$ e $f(2) = 8 + 2k$ , l’ipotesi è soddisfatta solo se $8 + 2k = 0$ , cioè per $k = -4$ .

Con $k = -4$ la derivata è $3x^2 - 4$ , che si annulla per $x^2 = \dfrac{4}{3}$ , cioè per $x = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ . Razionalizzando si ottiene $\pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ . Il valore negativo non appartiene a $(0, 2)$ , mentre il valore positivo, circa $1{,}15$ , vi appartiene. Il punto del teorema di Rolle è perciò $c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ .

Esercizio 4

Stabilisci se il teorema di Rolle si applica alla funzione $f(x) = \sqrt[3]{(x - 1)^2}$ nell’intervallo $[0, 2]$ , e se esiste un punto di $(0, 2)$ in cui la derivata si annulla.

f(0) = \sqrt[3]{1} = 1, \qquad f(2) = \sqrt[3]{1} = 1

f'(x) = \frac{2}{3}\,(x - 1)^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x - 1}} \qquad \text{per } x \neq 1

\lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^-} f'(x) = -\infty

f'(x) \neq 0 \quad \text{per ogni } x \neq 1

La funzione è continua in tutto $\mathbb{R}$ , perché è la composizione del polinomio $(x - 1)^2$ con la radice cubica, che è continua. I valori agli estremi sono uguali, $f(0) = f(2) = 1$ . Resta da controllare la derivabilità in $(0, 2)$ .

Per $x \neq 1$ la derivata si calcola con la regola della funzione composta, scrivendo $f(x) = (x - 1)^{\frac{2}{3}}$ . Il limite destro di $f'$ in $1$ è $+\infty$ e il limite sinistro è $-\infty$ , quindi per il criterio di derivabilità il punto $x = 1$ è una cuspide, e $f$ non è derivabile in $1$ . Poiché $1$ appartiene a $(0, 2)$ , l’ipotesi di derivabilità non è soddisfatta, e il teorema di Rolle non si applica.

La conclusione del teorema in questo caso è falsa. Il numeratore di $f'(x)$ è $2$ , quindi $f'(x)$ non si annulla in alcun punto di $(0, 2)$ . Il minimo di $f$ , che vale $0$ , è assunto nella cuspide, dove la retta tangente non esiste.