Massimi e minimi relativi con la derivata prima

Theory used: Massimo e minimo relativi Punti stazionari e punti in cui cercare gli estremi Criterio della derivata prima

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Esercizio 1

Determina gli intervalli di crescenza e di decrescenza e i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ .

D = \mathbb{R}

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3\,\left( x^2 - 2x - 3 \right) = 3\,(x + 1)(x - 3)

	$x < -1$	$-1 < x < 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	crescente

f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 , \qquad f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22

La funzione è crescente in $(-\infty, -1]$ e in $[3, +\infty)$ e decrescente in $[-1, 3]$ ; ha un massimo relativo in $(-1, 10)$ e un minimo relativo in $(3, -22)$ .

La funzione è un polinomio, quindi è definita e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ . Per il teorema di Fermat gli unici candidati a essere estremi sono i punti stazionari, cioè le soluzioni di $f'(x) = 0$ . Raccogliendo $3$ resta il trinomio $x^2 - 2x - 3$ , che ha radici $-1$ e $3$ , perché il loro prodotto è $-3$ e la loro somma è $2$ .

Il trinomio ha coefficiente di $x^2$ positivo, quindi è positivo fuori dall’intervallo delle radici e negativo tra le radici. Da qui viene la tabella dei segni di $f'$ . Per il criterio della derivata prima la funzione passa da crescente a decrescente in $x = -1$ , che è perciò un punto di massimo relativo, e da decrescente a crescente in $x = 3$ , che è un punto di minimo relativo. Le ordinate si trovano sostituendo nella funzione.

Esercizio 2

Determina i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ e confronta i loro valori.

D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)

f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}

	$x < -2$	$-2 < x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$f'(x)$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	decrescente	crescente

f(-2) = -2 - 2 = -4 , \qquad f(2) = 2 + 2 = 4

Il punto $x = -2$ è di massimo relativo, con $f(-2) = -4$ , e il punto $x = 2$ è di minimo relativo, con $f(2) = 4$ .

La funzione è definita per $x \neq 0$ . La derivata di $\dfrac{4}{x}$ è $-\dfrac{4}{x^2}$ , e riducendo allo stesso denominatore si ottiene una frazione con numeratore $x^2 - 4$ . Il denominatore $x^2$ è positivo nel dominio, quindi il segno di $f'$ è quello di $x^2 - 4$ , positivo per $|x| > 2$ e negativo per $|x| < 2$ .

Il punto $0$ non appartiene al dominio, perciò nella tabella compare come separazione tra due intervalli. Per il criterio della derivata prima $x = -2$ è un punto di massimo relativo e $x = 2$ è un punto di minimo relativo.

Il valore del massimo relativo, $-4$ , è minore del valore del minimo relativo, $4$ . Questo non è in contrasto con le definizioni, perché un massimo relativo confronta $f(-2)$ solo con i valori nei punti vicini a $-2$ . I due punti stanno in intervalli diversi del dominio, separati dall’asintoto verticale $x = 0$ .

Esercizio 3

Determina gli intervalli di crescenza e di decrescenza e i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = x^2\,e^{-x}$ .

D = \mathbb{R}

\begin{aligned} f'(x) &= 2x\,e^{-x} + x^2 \cdot \left( -e^{-x} \right) \\[6pt] &= e^{-x}\,\left( 2x - x^2 \right) \\[6pt] &= x\,(2 - x)\,e^{-x} \end{aligned}

	$x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrescente	crescente	decrescente

f(0) = 0 , \qquad f(2) = 4\,e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0{,}54

La funzione ha un minimo relativo in $(0, 0)$ e un massimo relativo in $\left( 2, \dfrac{4}{e^2} \right)$ .

y = x^{2} e^{-x}

La funzione

f (x) = x^{2} e^{- x}

ha un minimo relativo nell'origine e un massimo relativo nel punto

(2, \frac{4}{e ^{2}})

La funzione è il prodotto di un polinomio e di un esponenziale, quindi è derivabile su $\mathbb{R}$ . La derivata si calcola con la regola del prodotto; la derivata di $e^{-x}$ è $-e^{-x}$ , per la regola della funzione composta. Si raccoglie poi $e^{-x}$ e si scompone $2x - x^2 = x\,(2 - x)$ .

Il fattore $e^{-x}$ è sempre positivo, quindi il segno di $f'$ è quello del prodotto $x\,(2 - x)$ . Questo prodotto è positivo tra le radici $0$ e $2$ e negativo fuori. Per il criterio della derivata prima $x = 0$ è un punto di minimo relativo, perché $f$ passa da decrescente a crescente, e $x = 2$ è un punto di massimo relativo.

Il minimo in $0$ è anche assoluto, perché $f(x) = x^2\,e^{-x} \geq 0$ per ogni $x$ e $f(0) = 0$ . Il massimo invece è soltanto relativo, perché per $x \to -\infty$ la funzione tende a $+\infty$ .