Probabilità condizionate e problemi con il teorema di Bayes

Theory used: Probabilità condizionata Eventi indipendenti Formula di disintegrazione Teorema di Bayes Teorema del prodotto

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Esercizio 1

Si lanciano due dadi. Sapendo che la somma dei due numeri è $8$ , calcola la probabilità che almeno uno dei due dadi mostri $6$ . Stabilisci poi se gli eventi “la somma è $8$ ” e “il primo dado mostra $3$ ” sono indipendenti.

B = \{\text{somma } 8\} = \{(2, 6),\ (3, 5),\ (4, 4),\ (5, 3),\ (6, 2)\}

A = \{\text{almeno un } 6\}, \qquad A \cap B = \{(2, 6),\ (6, 2)\}

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\dfrac{2}{36}}{\dfrac{5}{36}} = \frac{2}{5}

C = \{\text{primo dado } 3\}, \qquad P(B \mid C) = \frac{P(\{(3, 5)\})}{P(C)} = \frac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{6}{36}} = \frac{1}{6} \neq \frac{5}{36} = P(B)

I casi possibili sono le $36$ coppie ordinate, tutte equiprobabili. Sapere che la somma è $8$ riduce i casi possibili alle $5$ coppie di $B$ . Fra queste, quelle con almeno un $6$ sono $(2, 6)$ e $(6, 2)$ , quindi per la definizione di probabilità condizionata si ottiene $P(A \mid B) = \dfrac{2}{5}$ . Senza l’informazione sulla somma la probabilità di almeno un $6$ sarebbe $\dfrac{11}{36}$ .

Se il primo dado mostra $3$ , i casi possibili sono le $6$ coppie con primo elemento $3$ , e fra queste solo $(3, 5)$ ha somma $8$ . Perciò $P(B \mid C) = \dfrac{1}{6}$ . Questo valore è diverso da $P(B) = \dfrac{5}{36}$ , quindi gli eventi $B$ e $C$ non sono indipendenti. Infatti, se il primo dado mostra $3$ , la somma $8$ diventa un po’ più probabile.

Esercizio 2

In una scuola di $200$ studenti, $80$ sono ragazze; $120$ studenti praticano uno sport, e fra questi $40$ sono ragazze. Si sceglie a caso uno studente. Calcola la probabilità che pratichi uno sport sapendo che è una ragazza, e la probabilità che sia una ragazza sapendo che pratica uno sport. Stabilisci se gli eventi “è una ragazza” e “pratica uno sport” sono indipendenti.

	sport	niente sport	totale
ragazze	$40$	$40$	$80$
ragazzi	$80$	$40$	$120$
totale	$120$	$80$	$200$

P(S \mid R) = \frac{P(S \cap R)}{P(R)} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}, \qquad P(R \mid S) = \frac{P(R \cap S)}{P(S)} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}

P(S) = \frac{120}{200} = \frac{3}{5} \neq \frac{1}{2} = P(S \mid R)

La tabella a doppia entrata si completa per differenza. Le ragazze che non praticano sport sono $80 - 40 = 40$ , i ragazzi sportivi sono $120 - 40 = 80$ , e i ragazzi sono in tutto $200 - 80 = 120$ . Si indicano con $R$ l’evento “è una ragazza” e con $S$ l’evento “pratica uno sport”.

Nella probabilità condizionata a $R$ i casi possibili sono le $80$ ragazze, e i casi favorevoli sono le $40$ ragazze sportive, quindi $P(S \mid R) = \dfrac{1}{2}$ . Nella probabilità condizionata a $S$ i casi possibili sono i $120$ sportivi, e la probabilità è $\dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3}$ . Le due probabilità condizionate sono diverse, perché nel primo caso si divide per il numero delle ragazze e nel secondo per il numero degli sportivi.

Fra tutti gli studenti la frazione di sportivi è $\dfrac{3}{5}$ , mentre fra le ragazze è $\dfrac{1}{2}$ . Poiché $P(S \mid R) \neq P(S)$ , gli eventi $R$ e $S$ non sono indipendenti.

Esercizio 3

L’urna $U_1$ contiene $3$ palline bianche e $2$ nere, l’urna $U_2$ contiene $1$ pallina bianca e $4$ nere. Si lancia una moneta: se esce testa si estrae una pallina da $U_1$ , altrimenti da $U_2$ . Calcola la probabilità che la pallina estratta sia bianca e, sapendo che è bianca, la probabilità che provenga da $U_1$ .

P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}, \qquad P(B \mid U_1) = \frac{3}{5}, \qquad P(B \mid U_2) = \frac{1}{5}

P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

P(U_1 \mid B) = \frac{P(U_1) \cdot P(B \mid U_1)}{P(B)} = \frac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{4}{10}} = \frac{3}{4}

La pallina proviene da $U_1$ oppure da $U_2$ , e le due possibilità sono incompatibili, quindi gli eventi $U_1$ e $U_2$ formano una partizione. Ciascuno ha probabilità $\dfrac{1}{2}$ , perché l’urna si sceglie con una moneta. Le probabilità condizionate di estrarre una bianca si leggono dal contenuto delle urne.

Per la formula di disintegrazione la probabilità di una pallina bianca è la somma delle probabilità dei due percorsi, “si sceglie $U_1$ e si estrae una bianca” e “si sceglie $U_2$ e si estrae una bianca”. Si ottiene $P(B) = \dfrac{2}{5}$ .

Il teorema di Bayes dà la probabilità della causa $U_1$ sapendo che si è osservata una bianca. Il numeratore è la probabilità del percorso che passa per $U_1$ , cioè $\dfrac{3}{10}$ , e il denominatore è $P(B)$ . Si ottiene $\dfrac{3}{4}$ , maggiore di $\dfrac{1}{2}$ , perché $U_1$ contiene più palline bianche di $U_2$ .

Esercizio 4

Tre macchine $A$ , $B$ , $C$ producono rispettivamente il $50\%$ , il $30\%$ e il $20\%$ dei pezzi di una fabbrica. I pezzi difettosi sono l’ $1\%$ di quelli prodotti da $A$ , il $2\%$ di quelli prodotti da $B$ e il $5\%$ di quelli prodotti da $C$ . Si sceglie a caso un pezzo. Calcola la probabilità che sia difettoso e, sapendo che è difettoso, la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina $C$ e quella che sia stato prodotto da $A$ .

\begin{aligned} P(D) &= P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B) + P(C) \cdot P(D \mid C) \\[6pt] &= 0{,}5 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}02 + 0{,}2 \cdot 0{,}05 \\[6pt] &= 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}010 \\[6pt] &= 0{,}021 \end{aligned}

P(C \mid D) = \frac{0{,}010}{0{,}021} = \frac{10}{21} \approx 0{,}476, \qquad P(A \mid D) = \frac{0{,}005}{0{,}021} = \frac{5}{21} \approx 0{,}238

Ogni pezzo è prodotto da una sola delle tre macchine, quindi gli eventi $A$ , $B$ , $C$ formano una partizione, con probabilità $0{,}5$ , $0{,}3$ e $0{,}2$ . Le percentuali di difettosi sono le probabilità condizionate $P(D \mid A) = 0{,}01$ , $P(D \mid B) = 0{,}02$ e $P(D \mid C) = 0{,}05$ .

Per la formula di disintegrazione la probabilità che un pezzo sia difettoso è $0{,}021$ , cioè il $2{,}1\%$ dei pezzi.

Per il teorema di Bayes la probabilità che un pezzo difettoso provenga da $C$ è il contributo di $C$ , $0{,}010$ , diviso per $P(D)$ , e vale $\dfrac{10}{21}$ . La macchina $C$ produce solo il $20\%$ dei pezzi, ma quasi la metà dei pezzi difettosi, perché ha la percentuale di difetti più alta. Allo stesso modo $P(A \mid D) = \dfrac{5}{21}$ , e quindi $P(B \mid D) = \dfrac{6}{21}$ . Le tre probabilità hanno somma $\dfrac{5 + 6 + 10}{21} = 1$ , perché un pezzo difettoso proviene da una sola delle tre macchine.