Limiti verificati con la definizione

Theory used: Limite finito in un punto Limite infinito in un punto Limite finito all'infinito Le quattro definizioni a confronto Intorni di un punto

Go to: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$ , e determina $\delta$ nel caso $\varepsilon = 0{,}3$ .

|f(x) - 5| < \varepsilon \iff |3x - 6| < \varepsilon \iff 3\,|x - 2| < \varepsilon \iff |x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}

\delta = \frac{\varepsilon}{3}, \qquad \varepsilon = 0{,}3 \quad \Longrightarrow \quad \delta = 0{,}1

y = 3x - 1

Per

1, 9 < x < 2, 1

il grafico di

y = 3 x - 1

sta nella striscia

4, 7 < y < 5, 3

, cioè

δ = 0, 1

corrisponde a

ε = 0, 3

Per verificare il limite si parte dalla condizione sui valori della funzione, $|f(x) - 5| < \varepsilon$ , e la si risolve rispetto a $x$ . La differenza $3x - 1 - 5$ vale $3x - 6$ , cioè $3\,(x - 2)$ , e il valore assoluto di un prodotto è il prodotto dei valori assoluti. Dividendo per $3$ si ottiene $|x - 2| < \dfrac{\varepsilon}{3}$ .

Le soluzioni formano l’intorno circolare di $2$ di raggio $\dfrac{\varepsilon}{3}$ , quindi per ogni $\varepsilon > 0$ il numero $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$ soddisfa la definizione di limite, e il limite è verificato. Con $\varepsilon = 0{,}3$ si ottiene $\delta = 0{,}1$ , quindi per tutti gli $x$ compresi tra $1{,}9$ e $2{,}1$ il valore $3x - 1$ è compreso tra $4{,}7$ e $5{,}3$ .

Esercizio 2

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ .

|x^2 - 4| < \varepsilon \iff 4 - \varepsilon < x^2 < 4 + \varepsilon

\text{per } 0 < \varepsilon < 4 \text{ e } x > 0: \qquad \sqrt{4 - \varepsilon} < x < \sqrt{4 + \varepsilon}

\sqrt{4 - \varepsilon} < 2 < \sqrt{4 + \varepsilon}

La disequazione $|x^2 - 4| < \varepsilon$ equivale alla doppia disequazione $4 - \varepsilon < x^2 < 4 + \varepsilon$ . Basta considerare $\varepsilon$ piccolo, con $0 < \varepsilon < 4$ , perché un intorno che va bene per un certo $\varepsilon$ va bene anche per tutti gli $\varepsilon$ più grandi. Allora $4 - \varepsilon$ è positivo e, per $x$ positivo, estraendo la radice quadrata si ottiene $\sqrt{4 - \varepsilon} < x < \sqrt{4 + \varepsilon}$ .

Poiché $4 - \varepsilon < 4 < 4 + \varepsilon$ , si ha $\sqrt{4 - \varepsilon} < 2 < \sqrt{4 + \varepsilon}$ . L’intervallo delle soluzioni è quindi un intorno di $2$ , anche se non circolare, perché $2$ non è il suo punto medio. Per ogni $\varepsilon$ esiste perciò un intorno di $2$ in cui $|x^2 - 4| < \varepsilon$ , e il limite è verificato. Per esempio con $\varepsilon = 0{,}41$ l’intorno è $(\sqrt{3{,}59};\ \sqrt{4{,}41})$ , e $\sqrt{4{,}41} = 2{,}1$ .

Esercizio 3

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 2}{x + 1} = 3$ , e determina da quale valore di $x$ in poi la funzione differisce da $3$ meno di $0{,}1$ .

\frac{3x - 2}{x + 1} - 3 = \frac{3x - 2 - 3x - 3}{x + 1} = -\frac{5}{x + 1}

\text{per } x > -1: \qquad \left| -\frac{5}{x + 1} \right| < \varepsilon \iff \frac{5}{x + 1} < \varepsilon \iff x + 1 > \frac{5}{\varepsilon} \iff x > \frac{5}{\varepsilon} - 1

\varepsilon = 0{,}1 \quad \Longrightarrow \quad x > 50 - 1 = 49

Si calcola prima la differenza tra la funzione e il valore del limite, riducendo allo stesso denominatore, e al numeratore resta $-5$ . Per $x \to +\infty$ interessano i valori grandi di $x$ , quindi si può supporre $x > -1$ ; in questo caso $x + 1$ è positivo e il valore assoluto di $-\dfrac{5}{x + 1}$ è $\dfrac{5}{x + 1}$ .

La disequazione $\dfrac{5}{x + 1} < \varepsilon$ si risolve moltiplicando per $x + 1$ , che è positivo, e dividendo per $\varepsilon$ . Si ottiene $x > \dfrac{5}{\varepsilon} - 1$ , cioè un intorno di più infinito. Quindi il numero $N = \dfrac{5}{\varepsilon} - 1$ soddisfa la definizione, e il limite è verificato. Con $\varepsilon = 0{,}1$ la funzione differisce da $3$ meno di $0{,}1$ per ogni $x > 49$ .

Esercizio 4

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2}{(x - 1)^2} = +\infty$ , e determina $\delta$ nel caso $M = 200$ .

\frac{2}{(x - 1)^2} > M \iff (x - 1)^2 < \frac{2}{M} \iff |x - 1| < \sqrt{\frac{2}{M}} \qquad (x \neq 1)

\delta = \sqrt{\frac{2}{M}}, \qquad M = 200 \quad \Longrightarrow \quad \delta = \sqrt{\frac{2}{200}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}

Per un limite uguale a $+\infty$ la condizione sui valori della funzione è $f(x) > M$ , con $M$ positivo e grande a piacere. Per $x \neq 1$ il denominatore $(x - 1)^2$ è positivo, quindi si possono passare ai reciproci i due membri positivi, cambiando il verso della disequazione, e moltiplicare per $2$ . Si ottiene $(x - 1)^2 < \dfrac{2}{M}$ , ed estraendo la radice quadrata $|x - 1| < \sqrt{\dfrac{2}{M}}$ .

Le soluzioni formano un intorno circolare di $1$ , privato del punto $1$ , quindi per ogni $M$ il numero $\delta = \sqrt{\dfrac{2}{M}}$ soddisfa la definizione di limite infinito. Con $M = 200$ si ha $\delta = \dfrac{1}{10}$ , quindi per $0{,}9 < x < 1{,}1$ e $x \neq 1$ la funzione supera $200$ .