Integrali immediati e proprietà di linearità

Theory used: Integrale indefinito Linearità dell'integrale indefinito Integrali immediati Il valore assoluto nella primitiva del reciproco

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\int \left( 6x^2 - 4x + 3 \right) dx$ .

\begin{aligned} \int \left( 6x^2 - 4x + 3 \right) dx &= 6 \int x^2\,dx - 4 \int x\,dx + \int 3\,dx \\[6pt] &= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + c \\[6pt] &= 2x^3 - 2x^2 + 3x + c \end{aligned}

\left( 2x^3 - 2x^2 + 3x + c \right)' = 6x^2 - 4x + 3

Per la linearità l’integrale della somma è la somma degli integrali, e le costanti moltiplicative $6$ e $-4$ si portano fuori dal segno di integrale. Ogni potenza si integra con la formula $\displaystyle\int x^{a}\,dx = \dfrac{x^{a + 1}}{a + 1} + c$ , che si applica perché gli esponenti $2$ e $1$ sono diversi da $-1$ . L’integrale della costante $3$ è $3x$ . Le costanti di integrazione dei tre termini si riuniscono in una sola costante $c$ .

Il controllo si esegue derivando il risultato. La derivata di $2x^3 - 2x^2 + 3x + c$ è $6x^2 - 4x + 3$ , cioè la funzione integranda, quindi il risultato è corretto.

Esercizio 2

Calcola $\displaystyle\int \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2}\,dx$ , per $x \neq 0$ .

\frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x - \frac{2}{x} + x^{-2}

\begin{aligned} \int \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2}\,dx &= \int x\,dx - 2 \int \frac{1}{x}\,dx + \int x^{-2}\,dx \\[6pt] &= \frac{x^2}{2} - 2 \ln \lvert x \rvert + \frac{x^{-1}}{-1} + c \\[6pt] &= \frac{x^2}{2} - 2 \ln \lvert x \rvert - \frac{1}{x} + c \end{aligned}

La funzione integranda è un quoziente, e per il quoziente non esiste una regola di integrazione diretta. Il denominatore è il solo monomio $x^2$ , quindi si divide ciascun termine del numeratore per $x^2$ e si ottiene una somma di potenze. Il termine $\dfrac{1}{x^2}$ si scrive come potenza con esponente negativo, $x^{-2}$ , così che si possa applicare la formula delle potenze.

Il termine $-\dfrac{2}{x}$ contiene la potenza con esponente $-1$ , per la quale la formula delle potenze non vale. Il suo integrale è $-2 \ln \lvert x \rvert$ , con il valore assoluto, perché la funzione è definita anche per $x < 0$ . Per la potenza $x^{-2}$ si ha invece $\dfrac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = -x^{-1} = -\dfrac{1}{x}$ .

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx$ , per $x > 0$ .

\frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}

\begin{aligned} \int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx &= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c \\[6pt] &= \frac{2}{5}\,x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}\,x^{\frac{3}{2}} + 2\,x^{\frac{1}{2}} + c \\[6pt] &= \frac{2}{5}\,x^2\sqrt{x} + \frac{4}{3}\,x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + c \end{aligned}

Prima si sviluppa il quadrato del binomio, $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ , e si scrive la radice come potenza, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ . Ogni termine del numeratore si divide per $x^{\frac{1}{2}}$ sottraendo gli esponenti. Si ottengono gli esponenti $2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ , $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ e $0 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}$ .

A ciascuna potenza si applica la formula $\displaystyle\int x^{a}\,dx = \dfrac{x^{a + 1}}{a + 1} + c$ . Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la sua inversa, quindi dividere per $\dfrac{5}{2}$ significa moltiplicare per $\dfrac{2}{5}$ . Nell’ultima riga le potenze con esponente frazionario si riscrivono con le radici, per esempio $x^{\frac{5}{2}} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^2\sqrt{x}$ .

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$ , per $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ .

\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - 1

\int \tan^2 x\,dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) dx = \tan x - x + c

(\tan x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \tan^2 x

La funzione $\tan^2 x$ non compare nella tabella degli integrali immediati, quindi si trasforma con le identità goniometriche. Per la relazione fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ si sostituisce $\sin^2 x$ con $1 - \cos^2 x$ , e la frazione si spezza in due termini.

Il primo termine è $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ , il cui integrale è $\tan x$ , perché $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ . Il secondo termine è la costante $-1$ , il cui integrale è $-x$ . Si ottiene quindi $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + c$ , e la derivata del risultato coincide con la funzione integranda.