Equazioni di piani

Theory used: Equazione del piano Piani particolari Piano per tre punti Piani paralleli e piani perpendicolari Retta perpendicolare a un piano Prodotto vettoriale

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Esercizio 1

Scrivi l’equazione del piano $\pi$ che passa per $P(1, 0, 1)$ e ha vettore normale $\vec{n} = (2, 1, 2)$ , e determina i punti in cui $\pi$ interseca gli assi coordinati.

2\,(x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 2\,(z - 1) = 0

\pi : \quad 2x + y + 2z - 4 = 0

\begin{aligned} y = z = 0 &\quad \Longrightarrow \quad 2x = 4 \quad \Longrightarrow \quad A(2, 0, 0) \\[6pt] x = z = 0 &\quad \Longrightarrow \quad y = 4 \quad \Longrightarrow \quad B(0, 4, 0) \\[6pt] x = y = 0 &\quad \Longrightarrow \quad 2z = 4 \quad \Longrightarrow \quad C(0, 0, 2) \end{aligned}

La parte del piano

2 x + y + 2 z - 4 = 0

compresa tra i semiassi positivi è il triangolo di vertici

A (2, 0, 0)

B (0, 4, 0)

C (0, 0, 2)

, che contiene il punto

P (1, 0, 1)

Per l’equazione del piano per un punto con vettore normale assegnato, si moltiplicano le componenti di $\vec{n}$ per le differenze $x - 1$ , $y - 0$ e $z - 1$ e si sommano i prodotti. Svolgendo i calcoli si ottiene $2x - 2 + y + 2z - 2 = 0$ , cioè $2x + y + 2z - 4 = 0$ .

I punti dell’asse $x$ hanno $y = 0$ e $z = 0$ . Sostituendo questi valori nell’equazione del piano resta $2x - 4 = 0$ , quindi $x = 2$ e il piano interseca l’asse $x$ in $A(2, 0, 0)$ . Allo stesso modo si trovano $B(0, 4, 0)$ sull’asse $y$ e $C(0, 0, 2)$ sull’asse $z$ . Il punto $P$ ha ordinata nulla, perciò sta sul lato $AC$ del triangolo, che giace nel piano $y = 0$ ; più precisamente $P$ è il punto medio di $AC$ .

Esercizio 2

Scrivi l’equazione del piano che passa per i punti $A(1, 1, 0)$ , $B(2, 0, 1)$ e $C(0, 2, 3)$ .

\overrightarrow{AB} = (1, -1, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1, 1, 3)

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \big( (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1,\ \ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 3,\ \ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) \big) \\[6pt] &= (-4, -4, 0) \end{aligned}

\vec{n} = (1, 1, 0)

1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 1) + 0 \cdot z = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x + y - 2 = 0

Per il teorema sul piano per tre punti, il prodotto vettoriale $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ è normale al piano. Il prodotto vale $(-4, -4, 0)$ , e non è nullo, quindi i tre punti non sono allineati. Ogni vettore parallelo a un vettore normale è ancora normale al piano, perciò si può usare $\vec{n} = (1, 1, 0)$ , che si ottiene dividendo per $-4$ .

Il piano passa per $A$ e ha vettore normale $(1, 1, 0)$ , quindi ha equazione $x + y - 2 = 0$ . Le coordinate di $B$ e di $C$ la soddisfano, perché $2 + 0 - 2 = 0$ e $0 + 2 - 2 = 0$ . Nell’equazione manca la variabile $z$ , quindi il piano è parallelo all’asse $z$ .

Esercizio 3

Dato il punto $P(1, 0, -2)$ :

scrivi l’equazione del piano per $P$ parallelo al piano $2x - 3y + z + 5 = 0$ ;
scrivi l’equazione del piano per $P$ perpendicolare alla retta che passa per $A(0, 1, 1)$ e $B(2, 3, 0)$ .

Punto 1

2\,(x - 1) - 3\,(y - 0) + (z + 2) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad 2x - 3y + z = 0

Punto 2

\overrightarrow{AB} = (2, 2, -1)

2\,(x - 1) + 2\,(y - 0) - (z + 2) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad 2x + 2y - z - 4 = 0

Punto 1. Per la condizione sui piani paralleli, due piani sono paralleli se hanno vettori normali paralleli. Si può quindi usare lo stesso vettore normale $(2, -3, 1)$ del piano dato. Svolgendo i calcoli il termine noto vale $-2 + 2 = 0$ , perciò il piano cercato passa anche per l’origine.

Punto 2. La retta $AB$ ha vettore direzione $\overrightarrow{AB} = (2, 2, -1)$ . Un piano è perpendicolare a una retta quando il vettore direzione della retta è normale al piano, quindi il piano cercato è il piano per $P$ con vettore normale $(2, 2, -1)$ . Svolgendo i prodotti si ottiene $2x - 2 + 2y - z - 2 = 0$ , cioè $2x + 2y - z - 4 = 0$ .

Esercizio 4

Scrivi l’equazione del piano che passa per i punti $A(1, 2, 1)$ e $B(0, 1, 3)$ ed è perpendicolare al piano $\pi : x - y + z = 0$ .

\overrightarrow{AB} = (-1, -1, 2), \qquad \vec{n}_\pi = (1, -1, 1)

\begin{aligned} \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{n}_\pi &= \big( (-1) \cdot 1 - 2 \cdot (-1),\ \ 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1,\ \ (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \big) \\[6pt] &= (1, 3, 2) \end{aligned}

(x - 1) + 3\,(y - 2) + 2\,(z - 1) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x + 3y + 2z - 9 = 0

Il vettore normale $\vec{n}$ del piano cercato deve soddisfare due condizioni. Il piano contiene $A$ e $B$ , quindi $\vec{n}$ è perpendicolare ad $\overrightarrow{AB}$ . Il piano è perpendicolare a $\pi$ , e per la condizione sui piani perpendicolari i due vettori normali sono perpendicolari, quindi $\vec{n}$ è perpendicolare anche a $\vec{n}_\pi$ .

Un vettore perpendicolare a due vettori non paralleli è il loro prodotto vettoriale, che vale $(1, 3, 2)$ . Il piano passa per $A$ , perciò ha equazione $x + 3y + 2z - 9 = 0$ . Come controllo, $B$ soddisfa l’equazione, perché $0 + 3 + 6 - 9 = 0$ , e i vettori normali sono perpendicolari, perché $1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 0$ .