Domini di funzioni algebriche

Theory used: Dominio naturale Funzioni algebriche e funzioni trascendenti

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Esercizio 1

Determina il dominio della funzione $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 5x + 6}$ .

x^2 - 5x + 6 \neq 0

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \iff x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = 3

D = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}

La funzione è razionale fratta, perché la variabile compare al denominatore e non sotto radice. L’unica condizione da imporre è quindi che il denominatore sia diverso da $0$ .

Si cercano prima i valori che annullano il denominatore. Il trinomio $x^2 - 5x + 6$ ha due numeri con somma $5$ e prodotto $6$ , cioè $2$ e $3$ , perciò si scompone in $(x - 2)(x - 3)$ . Un prodotto è nullo quando uno dei fattori è nullo, quindi il denominatore si annulla per $x = 2$ e per $x = 3$ . Questi due numeri si escludono, e il dominio è $D = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$ .

Esercizio 2

Determina il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$ .

x^2 - 4x \geq 0 \iff x\,(x - 4) \geq 0

x \leq 0 \quad \text{oppure} \quad x \geq 4

D = (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)

La funzione è irrazionale e contiene una radice quadrata, cioè di indice pari. Il radicando deve quindi essere maggiore o uguale a $0$ .

Il trinomio $x^2 - 4x$ si scompone raccogliendo $x$ , e si annulla per $x = 0$ e per $x = 4$ . Il suo grafico è una parabola con la concavità verso l’alto, perché il coefficiente di $x^2$ è positivo. La parabola sta sopra l’asse $x$ fuori dall’intervallo delle radici, perciò il trinomio è positivo per $x < 0$ e per $x > 4$ . I valori $0$ e $4$ sono compresi nel dominio, perché in quei punti la radice vale $\sqrt{0} = 0$ .

Esercizio 3

Determina il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{3 - x}}$ .

\frac{x + 1}{3 - x} \geq 0

	$x < -1$	$-1 < x < 3$	$x > 3$
$x + 1$	$-$	$+$	$+$
$3 - x$	$+$	$+$	$-$
frazione	$-$	$+$	$-$

D = [-1, 3)

Il radicando è una frazione, quindi la condizione è la disequazione fratta $\dfrac{x + 1}{3 - x} \geq 0$ . Il numeratore è positivo per $x > -1$ . Il denominatore $3 - x$ è positivo per $x < 3$ , perché $3 - x > 0$ equivale a $x < 3$ .

La tabella riporta il segno dei due fattori in ogni intervallo, e il segno della frazione è il prodotto dei segni. La frazione è positiva per $-1 < x < 3$ . Inoltre vale $0$ per $x = -1$ , dove si annulla il numeratore, quindi $-1$ appartiene al dominio. Il numero $3$ invece annulla il denominatore e la frazione non esiste, perciò $3$ è escluso. Il dominio è quindi $D = [-1, 3)$ .

Esercizio 4

Determina il dominio della funzione $f(x) = \dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{x - 1} + \sqrt[3]{x + 5}$ .

\begin{cases} 4 - x^2 \geq 0 \\[4pt] x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\[4pt] x \neq 1 \end{cases}

D = [-2, 1) \cup (1, 2]

La funzione contiene una radice quadrata, un denominatore e una radice cubica. La radice cubica ha indice dispari e quindi non pone condizioni; per esempio $\sqrt[3]{-8} = -2$ . Restano due condizioni, che devono essere soddisfatte insieme, perciò si scrive un sistema.

La prima condizione, $4 - x^2 \geq 0$ , equivale a $x^2 \leq 4$ , cioè a $-2 \leq x \leq 2$ . La seconda condizione esclude il numero $1$ , che annulla il denominatore. Il numero $1$ appartiene all’intervallo $[-2, 2]$ , quindi va tolto da questo intervallo, e il dominio è $D = [-2, 1) \cup (1, 2]$ .