Verifiche di soluzioni ed equazioni che si risolvono integrando

Theory used: Equazione differenziale e ordine Integrale generale e integrale particolare Problema di Cauchy Equazione caratteristica

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Esercizio 1

Verifica che la funzione $y = 3e^{2x} - x$ è soluzione dell’equazione differenziale $y' - 2y = 2x - 1$ .

y' = 6e^{2x} - 1

\begin{aligned} y' - 2y &= 6e^{2x} - 1 - 2\left( 3e^{2x} - x \right) \\[6pt] &= 6e^{2x} - 1 - 6e^{2x} + 2x \\[6pt] &= 2x - 1 \end{aligned}

Per verificare che una funzione è soluzione si calcolano le derivate che compaiono nell’equazione e si sostituiscono nel primo membro. La derivata di $3e^{2x}$ si calcola con la regola della funzione composta e vale $3 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}$ , mentre la derivata di $-x$ è $-1$ .

Nel primo membro si sostituiscono $y'$ e $y$ . Moltiplicando $3e^{2x} - x$ per $-2$ si ottiene $-6e^{2x} + 2x$ , e i termini esponenziali si annullano. Resta $2x - 1$ , che è il secondo membro per ogni $x$ reale, quindi la funzione $y = 3e^{2x} - x$ è soluzione dell’equazione in $\mathbb{R}$ .

Esercizio 2

Determina i valori del parametro reale $k$ per cui la funzione $y = e^{kx}$ è soluzione dell’equazione $y'' + y' - 6y = 0$ .

y' = k\,e^{kx}, \qquad y'' = k^2 e^{kx}

k^2 e^{kx} + k\,e^{kx} - 6\,e^{kx} = 0 \iff e^{kx} \left( k^2 + k - 6 \right) = 0

k^2 + k - 6 = 0 \iff (k + 3)(k - 2) = 0 \iff k = -3 \quad \text{oppure} \quad k = 2

Le derivate di $e^{kx}$ si ottengono con la regola della funzione composta; ogni derivazione moltiplica per $k$ , quindi $y' = k\,e^{kx}$ e $y'' = k^2 e^{kx}$ . Sostituendo nell’equazione si può raccogliere il fattore $e^{kx}$ .

Il fattore $e^{kx}$ è positivo per ogni $x$ , perciò il prodotto è nullo per ogni $x$ se e solo se $k^2 + k - 6 = 0$ . Questa è l’equazione caratteristica dell’equazione differenziale. Le sue soluzioni sono $-3$ e $2$ , quindi le funzioni $e^{-3x}$ ed $e^{2x}$ sono le soluzioni cercate.

Esercizio 3

Determina l’integrale generale dell’equazione $y' = 3x^2 - 4x + 1$ e la soluzione che soddisfa la condizione $y(1) = 2$ .

y = \int \left( 3x^2 - 4x + 1 \right) dx = x^3 - 2x^2 + x + c, \qquad c \in \mathbb{R}

y(1) = 1 - 2 + 1 + c = c = 2

y = x^3 - 2x^2 + x + 2

L’equazione ha la forma $y' = g(x)$ , perché il secondo membro non contiene $y$ . Le sue soluzioni sono quindi le primitive di $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ , e l’integrale generale si ottiene integrando termine per termine. La primitiva di $3x^2$ è $x^3$ , quella di $-4x$ è $-2x^2$ e quella di $1$ è $x$ .

La condizione $y(1) = 2$ chiede che la curva integrale passi per il punto $(1, 2)$ . Sostituendo $x = 1$ nell’integrale generale i termini numerici danno $1 - 2 + 1 = 0$ , quindi $y(1) = c$ e la condizione dà $c = 2$ . La soluzione del problema di Cauchy è perciò $y = x^3 - 2x^2 + x + 2$ .

Esercizio 4

Risolvi il problema di Cauchy

\begin{cases} y'' = 6x + e^{-x} \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 0 \end{cases}

y' = \int \left( 6x + e^{-x} \right) dx = 3x^2 - e^{-x} + c_1

y'(0) = 0 - 1 + c_1 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad c_1 = 1

y = \int \left( 3x^2 - e^{-x} + 1 \right) dx = x^3 + e^{-x} + x + c_2

y(0) = 0 + 1 + 0 + c_2 = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad c_2 = 0

y = x^3 + x + e^{-x}

L’equazione è del secondo ordine e il secondo membro dipende solo da $x$ , quindi si integra due volte. La prima integrazione dà la derivata prima. La primitiva di $6x$ è $3x^2$ e la primitiva di $e^{-x}$ è $-e^{-x}$ , perché la derivata di $-e^{-x}$ è $e^{-x}$ .

La condizione sulla derivata si usa per prima, perché $y'$ contiene la sola costante $c_1$ . Poiché $e^{0} = 1$ , si ha $y'(0) = -1 + c_1$ , e la condizione $y'(0) = 0$ dà $c_1 = 1$ . La seconda integrazione dà $y$ . La primitiva di $-e^{-x}$ è $e^{-x}$ e quella di $1$ è $x$ .

Infine la condizione $y(0) = 1$ dà $1 + c_2 = 1$ , cioè $c_2 = 0$ . La soluzione del problema è $y = x^3 + x + e^{-x}$ . Come controllo, derivando due volte si ottiene $y'' = 6x + e^{-x}$ , che è il secondo membro dell’equazione.