Derivate con le regole della somma, del prodotto e del quoziente

Theory used: Derivate delle funzioni elementari Derivata della somma e del prodotto Derivata del quoziente

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Esercizio 1

Calcola la derivata di $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4\sqrt{x} - 7$ , per $x > 0$ .

f'(x) = 2 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0

f'(x) = 8x^3 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}

La funzione è una somma di quattro termini, quindi per la regola della somma la sua derivata è la somma delle derivate dei termini. Ogni costante moltiplicativa resta davanti alla derivata, perché $(k f)' = k f'$ .

Per la formula delle potenze $\left( x^4 \right)' = 4x^3$ e $\left( x^2 \right)' = 2x$ , e dalla tabella delle derivate fondamentali $\left( \sqrt{x} \right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . La derivata della costante $-7$ è $0$ . Il terzo termine si semplifica, perché $4 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ . La condizione $x > 0$ serve perché $\sqrt{x}$ è derivabile solo per $x > 0$ .

Esercizio 2

Calcola la derivata di $f(x) = \left( x^2 + 1 \right) e^{x}$ e scrivi il risultato in forma fattorizzata.

f'(x) = 2x \cdot e^{x} + \left( x^2 + 1 \right) \cdot e^{x}

f'(x) = \left( x^2 + 2x + 1 \right) e^{x} = (x + 1)^2\,e^{x}

La funzione è il prodotto di $x^2 + 1$ per $e^{x}$ , quindi si applica la regola del prodotto $(f g)' = f' g + f g'$ . La derivata del primo fattore è $2x$ e quella del secondo è $e^{x}$ .

I due addendi contengono il fattore comune $e^{x}$ , che si raccoglie. L’altro fattore è $x^2 + 2x + 1$ , che è il quadrato del binomio $x + 1$ . La forma fattorizzata permette di studiare il segno della derivata. Poiché $e^{x} > 0$ e $(x + 1)^2 \geq 0$ , la derivata è maggiore o uguale a $0$ per ogni $x$ , e si annulla solo in $x = -1$ .

Esercizio 3

Calcola la derivata di $f(x) = x \sin x + \cos x$ .

f'(x) = (x \sin x)' + (\cos x)'

(x \sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cos x

f'(x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x

Per la regola della somma si derivano separatamente i due addendi. Il primo, $x \sin x$ , è un prodotto, quindi per la regola del prodotto la sua derivata è la derivata di $x$ , cioè $1$ , moltiplicata per $\sin x$ , più $x$ moltiplicato per la derivata di $\sin x$ , cioè $\cos x$ .

La derivata del secondo addendo è $(\cos x)' = -\sin x$ . Sommando, i termini $\sin x$ e $-\sin x$ si annullano, e la derivata è $f'(x) = x \cos x$ .

Esercizio 4

Calcola la derivata di $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ e scrivi l’equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $1$ .

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x \left( x^2 + 1 \right) - \left( x^2 - 1 \right) \cdot 2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \\[6pt] &= \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \\[6pt] &= \frac{4x}{\left( x^2 + 1 \right)^2} \end{aligned}

f(1) = 0, \qquad f'(1) = \frac{4}{4} = 1, \qquad y = x - 1

Il denominatore $x^2 + 1$ è sempre positivo, quindi la funzione è definita e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ . Si applica la regola del quoziente, con $f$ uguale al numeratore $x^2 - 1$ e $g$ uguale al denominatore $x^2 + 1$ ; le loro derivate sono entrambe $2x$ .

Al numeratore si sviluppano i due prodotti. I termini di terzo grado $2x^3$ e $-2x^3$ si annullano, mentre i termini di primo grado si sommano e danno $4x$ . Nel punto di ascissa $1$ la funzione vale $0$ e la derivata vale $1$ , quindi la tangente è la retta per $(1, 0)$ con coefficiente angolare $1$ , cioè $y = x - 1$ .