Continuità in un punto di funzioni definite a tratti

Theory used: Funzione continua in un punto Continuità a destra e a sinistra Continuità delle funzioni elementari e delle operazioni Discontinuità di prima specie

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Esercizio 1

Stabilisci se la funzione

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{se } x \leq 1 \\ 3x - 1 & \text{se } x > 1 \end{cases}

è continua nel punto $x_0 = 1$ .

f(1) = 1^2 + 1 = 2

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( x^2 + 1 \right) = 2

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x - 1) = 2

\lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1)

La funzione è continua in $x_0 = 1$ .

Il punto $1$ è il punto in cui cambia l’espressione della funzione, quindi i due limiti laterali si calcolano con due espressioni diverse. Il valore $f(1)$ si calcola con la prima espressione, perché la condizione $x \leq 1$ comprende il punto $1$ .

Per $x \to 1^-$ si considerano i valori $x < 1$ , dove $f(x) = x^2 + 1$ . Questo polinomio è continuo, quindi il limite si calcola per sostituzione e vale $2$ . Per $x \to 1^+$ si considerano i valori $x > 1$ , dove $f(x) = 3x - 1$ , e anche questo limite vale $2$ . Il limite destro e il limite sinistro sono uguali, perciò il limite esiste e vale $2$ . Poiché coincide con $f(1)$ , la funzione è continua in $1$ .

Esercizio 2

Stabilisci se la funzione

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{se } x \neq 0 \\[8pt] 1 & \text{se } x = 0 \end{cases}

è continua nel punto $x_0 = 0$ .

f(0) = 1

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)

La funzione è continua in $x_0 = 0$ .

Il valore in $0$ è assegnato dalla seconda riga della definizione, quindi $f(0) = 1$ . Per calcolare il limite si considerano i valori $x \neq 0$ , dove la funzione vale $\dfrac{\sin x}{x}$ . Questo limite si presenta nella forma $\dfrac{0}{0}$ , ed è il limite notevole del seno, che vale $1$ .

Il limite esiste, è finito e coincide con $f(0)$ , quindi la funzione è continua in $0$ . In questo caso non serve distinguere il limite destro dal sinistro, perché la funzione ha la stessa espressione a destra e a sinistra di $0$ .

Esercizio 3

Studia la continuità su $\mathbb{R}$ della funzione

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{se } x < -1 \\ x^2 & \text{se } -1 \leq x \leq 2 \\ 5 - x & \text{se } x > 2 \end{cases}

Punto $x_0 = -1$

f(-1) = (-1)^2 = 1, \qquad \lim_{x \to -1^-} (x + 2) = 1, \qquad \lim_{x \to -1^+} x^2 = 1

Punto $x_0 = 2$

f(2) = 2^2 = 4, \qquad \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4, \qquad \lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3

La funzione è continua in ogni punto diverso da $2$ ; in $x_0 = 2$ è continua a sinistra ma non a destra, e ha una discontinuità di prima specie con salto $|3 - 4| = 1$ .

La funzione è continua in

x = - 1

, mentre in

x = 2

il limite sinistro è

4

e il limite destro è

3

In ciascuno dei tre intervalli la funzione è un polinomio, quindi è continua per il teorema sulla continuità delle funzioni elementari. Restano da studiare i due punti in cui cambia l’espressione, cioè $-1$ e $2$ .

In $-1$ il valore della funzione si calcola con la seconda espressione, perché la condizione $-1 \leq x \leq 2$ comprende $-1$ . Il limite sinistro si calcola con $x + 2$ e il limite destro con $x^2$ ; entrambi valgono $1$ , come $f(-1)$ . Perciò la funzione è continua in $-1$ .

In $2$ il valore e il limite sinistro si calcolano con $x^2$ e valgono $4$ , quindi la funzione è continua a sinistra. Il limite destro si calcola con $5 - x$ e vale $3$ , che è diverso da $4$ . I due limiti laterali sono finiti e diversi, perciò il punto $2$ è una discontinuità di prima specie, con salto uguale a $1$ .