Raccoglimenti totali e parziali

Theory used: Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Differenza di quadrati Ordine dei metodi per una scomposizione completa

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Esercizio 1

Scomponi in fattori il polinomio $12x^2 - 18x$ .

\operatorname{MCD}(12, 18) = 6

\begin{aligned} 12x^2 - 18x &= 6x \cdot 2x - 6x \cdot 3 \\[6pt] &= 6x\,(2x - 3) \end{aligned}

I due termini hanno coefficienti $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$ , quindi il loro massimo comune divisore è $2 \cdot 3 = 6$ . La lettera $x$ compare in entrambi i termini, con esponente $2$ nel primo e $1$ nel secondo; l’esponente più piccolo è $1$ . Il fattore comune è perciò $6x$ .

Dividendo ogni termine per $6x$ si ottiene $\dfrac{12x^2}{6x} = 2x$ e $\dfrac{18x}{6x} = 3$ . Per il raccoglimento totale il polinomio è uguale a $6x\,(2x - 3)$ . Con $x = 1$ il polinomio vale $12 - 18 = -6$ e il prodotto vale $6 \cdot (-1) = -6$ .

Esercizio 2

Scomponi in fattori il polinomio $8x^3 - 12x^2 + 20x$ .

\operatorname{MCD}(8, 12, 20) = 4

\begin{aligned} 8x^3 - 12x^2 + 20x &= 4x \cdot 2x^2 - 4x \cdot 3x + 4x \cdot 5 \\[6pt] &= 4x\,(2x^2 - 3x + 5) \end{aligned}

I coefficienti sono $8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \cdot 3$ e $20 = 2^2 \cdot 5$ . L’unico fattore primo comune ai tre numeri è $2$ , con esponente più piccolo $2$ , quindi il massimo comune divisore è $2^2 = 4$ . La lettera $x$ compare in tutti e tre i termini, con esponente più piccolo $1$ , perciò il fattore comune è $4x$ .

Le divisioni dei tre termini per $4x$ danno $2x^2$ , $3x$ e $5$ , con i segni dei termini di partenza. Il risultato è quindi $4x\,(2x^2 - 3x + 5)$ . Nel trinomio $2x^2 - 3x + 5$ i coefficienti $2$ , $3$ e $5$ non hanno divisori comuni diversi da $1$ , e $x$ non compare nell’ultimo termine, quindi un secondo raccoglimento totale non è possibile.

Esercizio 3

Scomponi in fattori il polinomio $x^3 - 5x^2 + 2x - 10$ .

\begin{aligned} x^3 - 5x^2 + 2x - 10 &= x^2\,(x - 5) + 2\,(x - 5) \\[6pt] &= (x - 5)(x^2 + 2) \end{aligned}

I quattro termini non hanno un fattore comune a tutti, perché $x$ non compare nell’ultimo termine e i coefficienti $1$ , $5$ , $2$ , $10$ hanno massimo comune divisore $1$ . Si usa quindi il raccoglimento parziale. Nei primi due termini si raccoglie $x^2$ e resta $x - 5$ ; negli ultimi due si raccoglie $2$ , e resta ancora $x - 5$ , perché $2 \cdot 5 = 10$ .

I due gruppi hanno il fattore comune $x - 5$ , che si raccoglie, e si ottiene $(x - 5)(x^2 + 2)$ . Il fattore $x^2 + 2$ è irriducibile, poiché $x^2 \geq 0$ e quindi $x^2 + 2 \geq 2$ non vale mai zero. La scomposizione è perciò completa.

Esercizio 4

Scomponi in fattori il polinomio $x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ .

\begin{aligned} x^3 + 2x^2 - 9x - 18 &= x^2\,(x + 2) - 9\,(x + 2) \\[6pt] &= (x + 2)(x^2 - 9) \\[6pt] &= (x + 2)(x + 3)(x - 3) \end{aligned}

Si raggruppano i primi due termini e gli ultimi due. Nel primo gruppo si raccoglie $x^2$ e resta $x + 2$ . Nel secondo gruppo si raccoglie $-9$ , perché $-9 \cdot x = -9x$ e $-9 \cdot 2 = -18$ ; anche qui resta $x + 2$ . Raccogliendo $x + 2$ si ottiene $(x + 2)(x^2 - 9)$ .

Il fattore $x^2 - 9$ è una differenza di quadrati, perché $9 = 3^2$ , e quindi si scompone in $(x + 3)(x - 3)$ . Tutti i fattori hanno grado $1$ , perciò la scomposizione è completa. Con $x = 1$ il polinomio vale $1 + 2 - 9 - 18 = -24$ e il prodotto vale $3 \cdot 4 \cdot (-2) = -24$ .