Disequazioni sempre verificate e mai verificate

Theory used: Disequazioni con coefficiente nullo Principi di equivalenza delle disequazioni Disequazione intera di primo grado

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Esercizio 1

Risolvi la disequazione

2(x + 1) > 2x - 3 .

\begin{aligned} 2x + 2 &> 2x - 3 \\[6pt] 2x - 2x &> -3 - 2 \\[6pt] 0 \cdot x &> -5 \end{aligned}

La disequazione è sempre verificata, quindi le soluzioni sono tutti i numeri reali, cioè l’insieme $\mathbb{R}$ .

Con la proprietà distributiva il primo membro diventa $2x + 2$ . Trasportando $2x$ al primo membro e $2$ al secondo, i termini con la $x$ danno $2x - 2x = 0 \cdot x$ , e i numeri danno $-3 - 2 = -5$ .

Il primo membro $0 \cdot x$ vale $0$ per qualsiasi $x$ , quindi resta il confronto $0 > -5$ , che è vero. Perciò ogni numero è soluzione e la disequazione è sempre verificata. Per esempio con $x = 10$ i due membri valgono $22$ e $17$ , e con $x = -10$ valgono $-18$ e $-23$ . In entrambi i casi il primo membro supera il secondo di $5$ .

Esercizio 2

Risolvi la disequazione

3x - (x - 4) < 2(x + 1) .

\begin{aligned} 3x - x + 4 &< 2x + 2 \\[6pt] 2x + 4 &< 2x + 2 \\[6pt] 2x - 2x &< 2 - 4 \\[6pt] 0 \cdot x &< -2 \end{aligned}

La disequazione non è mai verificata, quindi l’insieme delle soluzioni è $\emptyset$ .

Il segno meno davanti a $(x - 4)$ cambia il segno di entrambi i termini, quindi $-(x - 4) = -x + 4$ . Il primo membro diventa $3x - x + 4 = 2x + 4$ , e il secondo, con la proprietà distributiva, diventa $2x + 2$ .

Trasportando i termini, il coefficiente di $x$ è $2 - 2 = 0$ e al secondo membro resta $2 - 4 = -2$ . Si arriva a $0 \cdot x < -2$ , cioè al confronto $0 < -2$ , che è falso per qualsiasi valore di $x$ . Perciò la disequazione non è mai verificata, perché il primo membro supera sempre il secondo di $2$ .

Esercizio 3

Risolvi le due disequazioni

(x + 1)^2 \geq x(x + 2) + 1 \qquad \text{e} \qquad (x + 1)^2 > x(x + 2) + 1 .

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

x(x + 2) + 1 = x^2 + 2x + 1

\begin{aligned} x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 &\geq 0 \\[6pt] 0 \cdot x &\geq 0 \end{aligned}

La prima disequazione è sempre verificata, con soluzioni $\mathbb{R}$ . La seconda diventa $0 \cdot x > 0$ e non è mai verificata, con insieme delle soluzioni $\emptyset$ .

Il primo membro è il quadrato di un binomio e vale $x^2 + 2x + 1$ . Il secondo membro, con la proprietà distributiva, vale $x^2 + 2x + 1$ . I due membri sono quindi la stessa espressione, e per ogni valore di $x$ hanno lo stesso valore.

Portando tutto al primo membro, ogni termine si annulla con il suo opposto e resta $0 \cdot x$ . Con il simbolo $\geq$ il confronto finale è $0 \geq 0$ , che è vero, perché $0 = 0$ ; perciò la prima disequazione è sempre verificata. Con il simbolo $>$ il confronto finale è $0 > 0$ , che è falso, perché un numero non è maggiore di sé stesso; perciò la seconda disequazione non è mai verificata.

Le due disequazioni differiscono solo per l’uguale nel simbolo, e hanno soluzioni diverse. Con $x = 3$ , per esempio, i due membri valgono entrambi $16$ , quindi la scrittura $16 \geq 16$ è vera, mentre $16 > 16$ è falsa.