Disequazioni con le frazioni

I denominatori sono $2$ e $3$, e il loro minimo comune multiplo è $\mathrm{mcm}(2,3)=6$. Si moltiplicano tutti i termini dei due membri per $6$. Il numero $6$ è positivo, quindi per il secondo principio di equivalenza il verso resta lo stesso.

Ogni frazione si semplifica: $6\cdot \frac{x}{2}=3x$, perché $6:2=3$, e $6\cdot \frac{x}{3}=2x$, perché $6:3=2$. Anche il numero $1$ va moltiplicato per $6$ e diventa $6$. Si ottiene $3x-6>2x$, e trasportando i termini si arriva a $x>6$.

Per controllo, con $x=12$ il primo membro vale $6-1=5$ e il secondo vale $4$, e $5>4$ è vera.

Il minimo comune multiplo dei denominatori è $\mathrm{mcm}(3,4)=12$. Si moltiplicano i due membri per $12$, che è positivo, e il verso resta lo stesso. La prima frazione diventa $\frac{12}{3}\cdot (x+1)=4(x+1)$, la seconda diventa $\frac{12}{4}\cdot (x-2)=3(x-2)$, e il secondo membro diventa $12\cdot 1=12$.

Davanti alla seconda frazione c’è un segno meno, quindi $-3(x-2)$ vale $-3x+6$, perché il prodotto di $-3$ per $-2$ è $+6$. Sommando i termini simili si ottiene $4x-3x=x$ e $4+6=10$. Trasportando $10$ si arriva a $x\le 12-10$, cioè $x\le 2$.

I denominatori sono $6$, $4$ e $3$. Scomponendo, $6=2\cdot 3$ e $4=2^2$, quindi il minimo comune multiplo è $2^2\cdot 3=12$. Si moltiplicano tutti i termini per $12$, che è positivo, e il verso resta lo stesso. Le frazioni diventano $2(2x-1)$, perché $12:6=2$, poi $3(x+3)$, perché $12:4=3$, e $4x$, perché $12:3=4$; il numero $-1$ diventa $-12$.

Il segno meno davanti a $3(x+3)$ cambia il segno di entrambi i termini del prodotto, che diventa $-3x-9$. Al primo membro si ottiene quindi $4x-3x=x$ e $-2-9=-11$.

Trasportando $4x$ al primo membro e $-11$ al secondo si arriva a $-3x\ge -1$. Il coefficiente $-3$ è negativo, perciò dividendo per $-3$ il verso si inverte. Il quoziente $\frac{-1}{-3}$ vale $\frac{1}{3}$, perché il quoziente di due numeri negativi è positivo. Le soluzioni sono $x\le \frac{1}{3}$.