Sistemi di disequazioni

Ogni disequazione del sistema si risolve da sola. Nella prima si trasporta $1$ al secondo membro e si ottiene $x>-1$. Nella seconda si dividono i due membri per $3$, che è positivo, e si ottiene $x\le 4$.

Le soluzioni del sistema sono i numeri che soddisfano entrambe le condizioni, cioè i numeri maggiori di $-1$ e, insieme, minori o uguali a $4$. Il numero $-1$ è escluso, perché $-1>-1$ è falsa, e il numero $4$ è incluso, perché $4\le 4$ è vera. Le soluzioni sono quindi $-1<x\le 4$. Per esempio $0$ è soluzione, mentre $5$ soddisfa la prima disequazione e non la seconda, perché $3\cdot 5=15$ e $15\le 12$ è falsa.

Nella prima disequazione si trasporta $x$ al primo membro e $1$ al secondo, e si ottiene $2x\ge -6$. Dividendo per $2$, che è positivo, il verso resta lo stesso, e il quoziente $\frac{-6}{2}$ vale $-3$. Le soluzioni della prima disequazione sono quindi $x\ge -3$.

Nella seconda disequazione si trasporta $2x$ al primo membro e $4$ al secondo, e si ottiene $-3x>-3$. Il coefficiente $-3$ è negativo, quindi dividendo per $-3$ il verso si inverte e si ottiene $x<1$.

Nello schema del sistema la linea di $x\ge -3$ parte da $-3$ con un pallino pieno e prosegue verso destra; la linea di $x<1$ arriva da sinistra fino a $1$, con un pallino vuoto. Le due linee sono presenti insieme tra $-3$ e $1$, perciò le soluzioni sono $-3\le x<1$.

Nella prima disequazione la proprietà distributiva dà $2x-2$ al primo membro. Trasportando $x$ al primo membro e $-2$ al secondo si ottiene $2x-x>3+2$, cioè $x>5$.

Nella seconda disequazione si moltiplicano tutti i termini per $2$, che è positivo, così da eliminare il denominatore: $\frac{x}{2}$ diventa $x$, il numero $1$ diventa $2$ e il numero $3$ diventa $6$. Trasportando $2$ si ottiene $x<6-2$, cioè $x<4$.

La prima condizione è soddisfatta dai numeri maggiori di $5$ e la seconda dai numeri minori di $4$. Un numero maggiore di $5$ è anche maggiore di $4$, quindi non può soddisfare la seconda condizione. Perciò il sistema non ha soluzioni.

La prima disequazione dà $x>-2$, trasportando $2$ al secondo membro. Nella seconda si trasporta $5$ e si ottiene $-x\ge -5$; moltiplicando per $-1$ il verso si inverte, quindi $x\le 5$. Nella terza si trasporta $-3$ e si ottiene $3x\ge 3$, e dividendo per $3$, che è positivo, $x\ge 1$.

Nello schema ci sono tre linee, e le soluzioni del sistema sono i numeri in cui sono presenti tutte e tre. A destra di $1$ la condizione $x>-2$ è già soddisfatta, perché ogni numero maggiore o uguale a $1$ è anche maggiore di $-2$. Restano quindi le condizioni $x\ge 1$ e $x\le 5$, e le soluzioni sono $1\le x\le 5$. Entrambi gli estremi sono inclusi, perché nei due simboli compare l’uguale.