Disequazioni con prodotti e prodotti notevoli

Theory used: Principi di equivalenza delle disequazioni Disequazione intera di primo grado Come si risolve

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Esercizio 1

Risolvi la disequazione

3(x - 2) < x + 4 .

\begin{aligned} 3x - 6 &< x + 4 \\[6pt] 3x - x &< 4 + 6 \\[6pt] 2x &< 10 \\[6pt] x &< 5 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x < 5$ , cioè l’intervallo $(-\infty, 5)$ .

Il prodotto $3(x - 2)$ si svolge con la proprietà distributiva. Il numero $3$ moltiplica sia $x$ sia $-2$ , quindi $3(x - 2) = 3x - 6$ .

Poi si trasporta $x$ al primo membro, dove diventa $-x$ , e $-6$ al secondo, dove diventa $+6$ . Si ottiene $2x < 10$ . Il coefficiente $2$ è positivo, perciò dividendo per $2$ il verso resta lo stesso e le soluzioni sono $x < 5$ .

Esercizio 2

Risolvi la disequazione

2(3 - x) \geq 4(x + 3) .

\begin{aligned} 6 - 2x &\geq 4x + 12 \\[6pt] -2x - 4x &\geq 12 - 6 \\[6pt] -6x &\geq 6 \\[6pt] x &\leq \frac{6}{-6} \\[6pt] x &\leq -1 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x \leq -1$ , cioè l’intervallo $(-\infty, -1]$ .

Con la proprietà distributiva il primo membro diventa $2 \cdot 3 - 2 \cdot x = 6 - 2x$ e il secondo diventa $4 \cdot x + 4 \cdot 3 = 4x + 12$ .

Il termine $4x$ passa al primo membro come $-4x$ e il numero $6$ passa al secondo come $-6$ . Si ottiene $-6x \geq 6$ . Il coefficiente $-6$ è negativo, quindi dividendo per $-6$ il verso si inverte e $\geq$ diventa $\leq$ . Il quoziente $\dfrac{6}{-6}$ vale $-1$ , perciò le soluzioni sono $x \leq -1$ .

Per controllo, con $x = -1$ il primo membro vale $2 \cdot 4 = 8$ e il secondo $4 \cdot 2 = 8$ , e $8 \geq 8$ è vera.

Esercizio 3

Risolvi la disequazione

(x + 2)^2 - x(x + 1) > 7 .

\begin{aligned} x^2 + 4x + 4 - x^2 - x &> 7 \\[6pt] 3x + 4 &> 7 \\[6pt] 3x &> 3 \\[6pt] x &> 1 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x > 1$ , cioè l’intervallo $(1, +\infty)$ .

L’espressione $(x + 2)^2$ è il quadrato di un binomio, che si sviluppa come quadrato del primo termine, più il doppio prodotto, più il quadrato del secondo termine: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 4 = x^2 + 4x + 4$ . Il prodotto $x(x + 1)$ vale $x^2 + x$ , e il segno meno davanti cambia il segno di entrambi i termini, quindi si scrive $-x^2 - x$ .

I termini $x^2$ e $-x^2$ hanno somma zero, perciò la disequazione è di primo grado anche se all’inizio comparivano dei quadrati. Restano $4x - x = 3x$ e il numero $4$ . Trasportando $4$ si ottiene $3x > 3$ , e dividendo per $3$ , che è positivo, le soluzioni sono $x > 1$ .

Esercizio 4

Risolvi la disequazione

(x - 3)(x + 3) - (x - 1)^2 \leq 6 .

\begin{aligned} x^2 - 9 - \left( x^2 - 2x + 1 \right) &\leq 6 \\[6pt] x^2 - 9 - x^2 + 2x - 1 &\leq 6 \\[6pt] 2x - 10 &\leq 6 \\[6pt] 2x &\leq 16 \\[6pt] x &\leq 8 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x \leq 8$ , cioè l’intervallo $(-\infty, 8]$ .

Il prodotto $(x - 3)(x + 3)$ è una somma per differenza, quindi è uguale alla differenza dei quadrati $x^2 - 9$ . L’espressione $(x - 1)^2$ è il quadrato di un binomio e vale $x^2 - 2x + 1$ ; il segno meno davanti cambia il segno di tutti e tre i termini, che diventano $-x^2 + 2x - 1$ .

I termini $x^2$ e $-x^2$ si annullano. I numeri danno $-9 - 1 = -10$ , quindi il primo membro è $2x - 10$ . Trasportando $-10$ al secondo membro si ottiene $2x \leq 6 + 10 = 16$ . Il coefficiente $2$ è positivo, perciò dividendo per $2$ il verso resta lo stesso e le soluzioni sono $x \leq 8$ .