Disequazioni intere di primo grado

Theory used: Principi di equivalenza delle disequazioni Disequazione intera di primo grado Come si risolve Intervalli

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Esercizio 1

Risolvi la disequazione

2x - 3 > 7 .

\begin{aligned} 2x &> 7 + 3 \\[6pt] 2x &> 10 \\[6pt] x &> \frac{10}{2} \\[6pt] x &> 5 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x > 5$ , cioè l’intervallo $(5, +\infty)$ .

Per il primo principio di equivalenza il termine $-3$ si trasporta al secondo membro cambiandogli il segno, quindi diventa $+3$ . Al secondo membro si ottiene $7 + 3 = 10$ .

Il coefficiente di $x$ è $2$ , che è positivo. Per il secondo principio si dividono i due membri per $2$ e il verso resta lo stesso. Poiché $\dfrac{10}{2} = 5$ , le soluzioni sono $x > 5$ . Per controllo, con $x = 6$ il primo membro vale $12 - 3 = 9$ , e $9 > 7$ è vera.

Esercizio 2

Risolvi la disequazione

5x + 4 \leq 2x - 8 .

\begin{aligned} 5x - 2x &\leq -8 - 4 \\[6pt] 3x &\leq -12 \\[6pt] x &\leq \frac{-12}{3} \\[6pt] x &\leq -4 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x \leq -4$ , cioè l’intervallo $(-\infty, -4]$ .

I termini con la $x$ si portano al primo membro e i numeri al secondo. Il termine $2x$ passa al primo membro e diventa $-2x$ ; il numero $4$ passa al secondo membro e diventa $-4$ . Sommando i termini simili si ottiene $5x - 2x = 3x$ al primo membro e $-8 - 4 = -12$ al secondo.

Il coefficiente $3$ è positivo, quindi dividendo per $3$ il verso resta $\leq$ . Il quoziente $\dfrac{-12}{3}$ vale $-4$ , perché un numero negativo diviso un numero positivo dà un risultato negativo. Le soluzioni sono $x \leq -4$ , e il numero $-4$ è incluso, perché il simbolo comprende l’uguale.

Esercizio 3

Risolvi la disequazione

3 - 4x < x + 13 .

\begin{aligned} -4x - x &< 13 - 3 \\[6pt] -5x &< 10 \\[6pt] x &> \frac{10}{-5} \\[6pt] x &> -2 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x > -2$ , cioè l’intervallo $(-2, +\infty)$ .

Il termine $x$ del secondo membro passa al primo come $-x$ , e il numero $3$ del primo membro passa al secondo come $-3$ . Si ottiene $-4x - x = -5x$ al primo membro e $13 - 3 = 10$ al secondo.

Il coefficiente di $x$ è $-5$ , che è negativo. Per il secondo principio di equivalenza, dividendo per un numero negativo il verso si inverte, quindi il simbolo $<$ diventa $>$ . Il quoziente $\dfrac{10}{-5}$ vale $-2$ , perciò le soluzioni sono $x > -2$ .

Il controllo con un numero conferma il verso. Con $x = 0$ , che appartiene all’intervallo, i due membri valgono $3$ e $13$ , e $3 < 13$ è vera. Con $x = -3$ , che è fuori, i due membri valgono $3 + 12 = 15$ e $-3 + 13 = 10$ , e $15 < 10$ è falsa.

Esercizio 4

Risolvi la disequazione

7 - 2x \geq 3 - 6x .

\begin{aligned} -2x + 6x &\geq 3 - 7 \\[6pt] 4x &\geq -4 \\[6pt] x &\geq \frac{-4}{4} \\[6pt] x &\geq -1 \end{aligned}

Le soluzioni sono $x \geq -1$ , cioè l’intervallo $[-1, +\infty)$ .

Il termine $-6x$ passa al primo membro e diventa $+6x$ ; il numero $7$ passa al secondo membro e diventa $-7$ . Al primo membro si ottiene $-2x + 6x = 4x$ , e al secondo $3 - 7 = -4$ .

In questo esercizio entrambi i membri contenevano un termine con coefficiente negativo, ma dopo il trasporto il coefficiente di $x$ è $4$ , che è positivo. Quindi dividendo per $4$ il verso resta $\geq$ . Il quoziente $\dfrac{-4}{4}$ vale $-1$ , e le soluzioni sono $x \geq -1$ . Per controllo, con $x = -1$ i due membri valgono $7 + 2 = 9$ e $3 + 6 = 9$ , e $9 \geq 9$ è vera.