Disuguaglianze, soluzioni e intervalli

Theory used: Disuguaglianza Proprietà delle disuguaglianze Disequazione e soluzioni Intervalli

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Esercizio 1

A partire dalla disuguaglianza $3 < 8$ , scrivi la disuguaglianza che si ottiene sottraendo $5$ ai due membri, moltiplicando i due membri per $2$ e moltiplicando i due membri per $-4$ .

3 - 5 < 8 - 5 \qquad \Longrightarrow \qquad -2 < 3

3 \cdot 2 < 8 \cdot 2 \qquad \Longrightarrow \qquad 6 < 16

3 \cdot (-4) > 8 \cdot (-4) \qquad \Longrightarrow \qquad -12 > -32

Sottrarre lo stesso numero ai due membri lascia il verso com’è, per le proprietà delle disuguaglianze. Poiché $3 - 5 = -2$ e $8 - 5 = 3$ , si ottiene $-2 < 3$ , che è vera.

Il numero $2$ è positivo, quindi anche moltiplicando per $2$ il verso resta lo stesso. I prodotti sono $3 \cdot 2 = 6$ e $8 \cdot 2 = 16$ , perciò si ottiene $6 < 16$ .

Il numero $-4$ è negativo, quindi moltiplicando per $-4$ il verso si inverte e il simbolo $<$ diventa $>$ . Per la regola dei segni $3 \cdot (-4) = -12$ e $8 \cdot (-4) = -32$ . Si ottiene $-12 > -32$ , che è vera, perché sulla retta $-12$ sta a destra di $-32$ .

Esercizio 2

Stabilisci quali dei numeri $-1$ , $0$ , $2$ , $5$ sono soluzioni della disequazione $3x - 4 > 2$ .

\begin{aligned} x = -1 : \quad & 3 \cdot (-1) - 4 = -7 , \qquad -7 > 2 \ \text{ falsa} \\[6pt] x = 0 : \quad & 3 \cdot 0 - 4 = -4 , \qquad -4 > 2 \ \text{ falsa} \\[6pt] x = 2 : \quad & 3 \cdot 2 - 4 = 2 , \qquad 2 > 2 \ \text{ falsa} \\[6pt] x = 5 : \quad & 3 \cdot 5 - 4 = 11 , \qquad 11 > 2 \ \text{ vera} \end{aligned}

Tra i quattro numeri, solo $5$ è soluzione.

Un numero è soluzione se, messo al posto di $x$ , rende vera la disuguaglianza. Per ogni numero si calcola quindi il primo membro $3x - 4$ e lo si confronta con $2$ .

Con $x = -1$ il prodotto $3 \cdot (-1)$ vale $-3$ , e $-3 - 4 = -7$ . Il numero $-7$ è minore di $2$ , perciò $-1$ non è soluzione. Con $x = 0$ il primo membro vale $0 - 4 = -4$ , che è minore di $2$ , quindi anche $0$ è escluso.

Con $x = 2$ il primo membro vale $6 - 4 = 2$ . La disuguaglianza $2 > 2$ è falsa, perché un numero non è maggiore di sé stesso; quindi $2$ non è soluzione, anche se con il simbolo $\geq$ lo sarebbe stato. Con $x = 5$ il primo membro vale $15 - 4 = 11$ , che è maggiore di $2$ , perciò $5$ è soluzione.

Esercizio 3

Scrivi come intervalli le soluzioni $x \geq -2$ e $1 \leq x < 4$ , e rappresentale sulla retta dei numeri.

x \geq -2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad [-2, +\infty)

Le soluzioni di

x \geq - 2

formano l'intervallo

[- 2, + \infty)

; il pallino pieno indica che

- 2

è incluso

1 \leq x < 4 \qquad \Longleftrightarrow \qquad [1, 4)

L'intervallo

[1, 4)

contiene i numeri compresi tra

1

, incluso, e

4

, escluso

La scrittura $x \geq -2$ comprende il numero $-2$ e tutti i numeri a destra di $-2$ , senza fine. L’estremo $-2$ è incluso, quindi si usa la parentesi quadra; dall’altra parte l’intervallo prosegue verso destra, e accanto a $+\infty$ la parentesi è sempre tonda. Sulla retta si disegna un pallino pieno in $-2$ e si colora tutta la parte a destra.

La doppia disuguaglianza $1 \leq x < 4$ indica i numeri maggiori o uguali a $1$ e, insieme, minori di $4$ . Il numero $1$ è incluso e ha la parentesi quadra con il pallino pieno. Il numero $4$ è escluso, perché $4 < 4$ è falsa, e ha la parentesi tonda con il pallino vuoto. Per esempio $1$ , $2{,}5$ e $3{,}9$ appartengono all’intervallo $[1, 4)$ , mentre $4$ e $0$ sono fuori.