Esercizi da fare

Logica elementare

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Negazione di una proposizione universale

Scrivere la negazione di

\forall x \in R : x^{2} \geq 1

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

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La negazione è $\exists x \in R : x^{2} < 1$ ed è vera: per $x = 0$ si ha $x^{2} = 0 < 1$ .

2. Negazione di una proposizione esistenziale

Scrivere la negazione di

\exists n \in N : n^{2} = 10

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

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La negazione è $\forall n \in N : n^{2} \neq = 10$ ed è vera: $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ , e i quadrati dei naturali successivi superano $16$ .

3. Negazione di una congiunzione quantificata

Scrivere la negazione di

\forall x \in R : x \geq 0 \land x^{2} \geq 0

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

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La negazione è $\exists x \in R : x < 0 \lor x^{2} < 0$ ed è vera: per $x = - 1$ la prima alternativa $x < 0$ è soddisfatta.

4. Negazione con due quantificatori

Scrivere la negazione di

\exists y \in R \forall x \in R : x^{2} \geq y

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

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La negazione è $\forall y \in R \exists x \in R : x^{2} < y$ . È vera la proposizione di partenza: per $y = 0$ vale $x^{2} \geq 0$ per ogni $x$ reale.

5. Condizione sufficiente tra multipli

Stabilire se, per $n$ naturale, la condizione “essere multiplo di $9$ ” è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per “essere multiplo di $3$ ”.

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Sufficiente e non necessaria: ogni multiplo di $9$ si scrive come $9 k = 3 \cdot 3 k$ ed è multiplo di $3$ , mentre $n = 6$ è multiplo di $3$ e l’uguaglianza $6 = 9 k$ è priva di soluzioni naturali.

6. Condizione necessaria con i quadrati

Stabilire se, per $x$ reale, la condizione " $x^{2} > 0$ " è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per " $x > 0$ ".

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Necessaria e non sufficiente: da $x > 0$ segue $x^{2} > 0$ , mentre per $x = - 1$ si ha $x^{2} = 1 > 0$ con $x < 0$ .

7. Condizione necessaria e sufficiente con un'equazione

Stabilire se, per $x$ reale, la condizione " $2 x - 4 = 0$ " è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per " $x = 2$ ".

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Necessaria e sufficiente: $2 x - 4 = 0 ⟺ 2 x = 4 ⟺ x = 2$ , quindi le due condizioni sono equivalenti.

8. Contronominale e inversa di un'implicazione sui multipli

Scrivere la contronominale e l’inversa dell’implicazione “se $n$ è multiplo di $8$ , allora $n$ è multiplo di $4$ ” ( $n$ naturale) e stabilire il valore di verità di ciascuna.

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Contronominale: “se $n$ ha resto diverso da zero nella divisione per $4$ , allora $n$ ha resto diverso da zero nella divisione per $8$ ”, vera perché equivalente all’implicazione data. Inversa: “se $n$ è multiplo di $4$ , allora $n$ è multiplo di $8$ ”, falsa per $n = 12$ .

9. Negazione di un'implicazione quantificata

Scrivere la negazione di

\forall x \in R : x > 0 ⟹ x + 1 > 2

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

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La negazione è $\exists x \in R : x > 0 \land x + 1 \leq 2$ ed è vera: per $x = \frac{1}{2}$ si ha $x > 0$ e $x + 1 = \frac{3}{2} \leq 2$ .

10. Irrazionalità di una somma

Sapendo che $2$ è irrazionale, dimostrare per assurdo che $1 + 2$ è irrazionale.

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Se $1 + 2$ fosse un razionale $q$ , allora $2 = q - 1$ sarebbe differenza di razionali, quindi razionale, in contraddizione con l’ipotesi; perciò $1 + 2$ è irrazionale.