Teoria

Equazioni e disequazioni logaritmiche

Il logaritmo come esponente, le sue proprietà e la sua funzione, e i metodi per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche a partire dalle condizioni di esistenza.

In questa pagina

Il logaritmo
Le proprietà dei logaritmi
La funzione logaritmica
Condizioni di esistenza
Equazioni logaritmiche
Equazioni con sostituzione
Disequazioni logaritmiche

Il logaritmo

Logaritmo

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ e $b > 0$ , il logaritmo in base $a$ di $b$ è l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $b$ :

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b .

Il logaritmo esiste solo per argomenti positivi, perché $a^{c} > 0$ per ogni $c$ . Dalla definizione seguono le due identità

lo g_{a} (a^{x}) = x (x \in R), a^{l o g_{a} x} = x (x > 0),

con cui si passa dalla forma esponenziale alla forma logaritmica e viceversa; su queste identità si fondano le equazioni dei tipi $lo g_{a} A = k$ e $a^{A} = k$ .

Esempio

$lo g_{2} 8 = 3$ perché $2^{3} = 8$ ; $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ perché $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ ; $lo g_{5} 1 = 0$ perché $5^{0} = 1$ .

Le proprietà dei logaritmi

Proprietà dei logaritmi

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ e $x > 0$ , $y > 0$ :

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} (x^{p}) = p lo g_{a} x (p \in R) .

Le tre formule valgono quando gli argomenti $x$ e $y$ sono positivi, perciò prima di applicarle a espressioni con l’incognita vanno scritte le condizioni di esistenza. Nelle equazioni e nelle disequazioni servono a riunire più logaritmi in un logaritmo solo.

Un esempio per ciascuna proprietà

lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3 = lo g_{6} 6 = 1, lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} 8 = 3, lo g_{3} (9^{5}) = 5 lo g_{3} 9 = 10.

In ogni caso gli argomenti sono numeri positivi, quindi le proprietà si applicano.

Cambio di base

Per $a, b > 0$ entrambi diversi da $1$ e $x > 0$ :

lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a} .

Permette di esprimere ogni logaritmo in una base scelta, per esempio nella base $e$ oppure nella base $10$ disponibili sulla calcolatrice. Per esempio $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ .

La funzione logaritmica

Funzione logaritmica

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ , la funzione $lo g_{a} x$ è definita per $x > 0$ . Proprietà:

il grafico passa per il punto $(1, 0)$ , perché $lo g_{a} 1 = 0$ ;
la retta $x = 0$ è asintoto verticale;
la funzione è iniettiva: argomenti diversi danno logaritmi diversi;
per $a > 1$ la funzione è strettamente crescente; per $0 < a < 1$ è strettamente decrescente.

Come per la funzione esponenziale, l’iniettività giustifica il passaggio dai logaritmi agli argomenti nelle equazioni e la monotonia governa il verso nelle disequazioni.

I due grafici di base

Per $a = 2$ la funzione cresce; per $a = \frac{1}{2}$ decresce.

y = log₂ x: base maggiore di 1, funzione crescente

y = log in base 1/2 di x: base tra 0 e 1, funzione decrescente

Condizioni di esistenza

Prima di risolvere un’equazione o una disequazione logaritmica si impone che tutti gli argomenti dei logaritmi siano positivi. Le condizioni vanno soddisfatte insieme, quindi formano un sistema; le soluzioni trovate che non soddisfano il sistema vanno scartate. Per l’espressione $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 3)$ :

{x - 1 > 0 x + 3 > 0 ⟺ {x > 1 x > - 3 ⟺ x > 1.

Attenzione

Risolvere senza le condizioni di esistenza produce soluzioni estranee. L’equazione $lo g_{10} x + lo g_{10} (x - 3) = 1$ porta a $x (x - 3) = 10$ , cioè $x = 5$ oppure $x = - 2$ ; per $x = - 2$ gli argomenti $x$ e $x - 3$ sono negativi, quindi i logaritmi dell’equazione data non esistono e $x = - 2$ va scartata. L’unica soluzione è $x = 5$ .

Equazioni logaritmiche

Uguaglianza di logaritmi con la stessa base

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ , l’equazione $lo g_{a} A = lo g_{a} B$ equivale al sistema

{A = B A > 0

dove la condizione $B > 0$ non compare perché segue da $A = B$ e $A > 0$ . L’equivalenza tra $lo g_{a} A = lo g_{a} B$ e $A = B$ , sugli argomenti positivi, vale perché la funzione logaritmica è iniettiva.

Esempio

lo g_{3} (2 x - 1) = lo g_{3} (x + 4) ⟺ {2 x - 1 = x + 4 2 x - 1 > 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = 5 x > \frac{1}{2} ⟺ x = 5

Il valore $x = 5$ soddisfa la condizione di esistenza, quindi è la soluzione.

Logaritmo uguale a un numero

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ e $k \in R$ , per la definizione di logaritmo

lo g_{a} A = k ⟺ A = a^{k} .

La condizione di esistenza $A > 0$ è automaticamente soddisfatta, perché $a^{k} > 0$ . L’equazione sull’argomento è un’equazione algebrica e si risolve con i metodi ordinari.

Esempio

lo g_{2} (x - 3) = 4 ⟺ x - 3 = 2^{4} = 16 ⟺ x = 19

La condizione di esistenza $x - 3 > 0$ è soddisfatta, poiché $x - 3 = 16 > 0$ .

Equazioni con sostituzione

Metodo di sostituzione

Se nell’equazione compaiono $(lo g_{a} x)^{2}$ e $lo g_{a} x$ , la sostituzione $t = lo g_{a} x$ la trasforma in un’equazione algebrica in $t$ . A differenza della sostituzione esponenziale, $t$ può assumere qualunque valore reale, quindi nessuna soluzione in $t$ va scartata per il segno; resta la condizione di esistenza $x > 0$ . Da ogni valore di $t$ si ricava $x = a^{t}$ , per la definizione di logaritmo.

Esempio

(lo g_{2} x)^{2} - 3 lo g_{2} x + 2 = 0

La condizione di esistenza è $x > 0$ . Con $t = lo g_{2} x$ l’equazione diventa $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , con soluzioni $t = 1$ e $t = 2$ ; quindi $x = 2^{1} = 2$ oppure $x = 2^{2} = 4$ , entrambe positive e quindi accettabili.

Disequazioni logaritmiche

Disequazioni con la stessa base

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ , la disequazione $lo g_{a} A > lo g_{a} B$ equivale a un sistema che contiene la condizione di esistenza:

se $a > 1$ il verso si mantiene, perché la funzione logaritmica è strettamente crescente:

{A > B B > 0

se $0 < a < 1$ il verso si rovescia, perché la funzione è strettamente decrescente:

{A < B A > 0

In ciascun sistema compare la condizione sull’argomento minore, perché la positività dell’altro argomento segue dalla prima disuguaglianza. Le stesse regole valgono con i simboli $\geq$ , $<$ , $\leq$ .

Base maggiore di 1

lo g_{2} (3 x - 2) > lo g_{2} (x + 4) ⟺ {3 x - 2 > x + 4 x + 4 > 0 ⟺ {x > 3 x > - 4 ⟺ x > 3

La base $2$ è maggiore di $1$ , quindi il verso si mantiene nel passaggio agli argomenti.

Base tra 0 e 1

lo g_{1/3} (x + 1) > lo g_{1/3} (5 - x) ⟺ {x + 1 < 5 - x x + 1 > 0 ⟺ {x < 2 x > - 1 ⟺ - 1 < x < 2

La base $\frac{1}{3}$ è compresa tra $0$ e $1$ , quindi il verso si rovescia nel passaggio agli argomenti.

Disequazione con un numero al secondo membro

La disequazione $lo g_{a} A > k$ si riconduce al confronto tra logaritmi scrivendo $k = lo g_{a} (a^{k})$ :

se $a > 1$ , equivale ad $A > a^{k}$ , e la condizione di esistenza $A > 0$ segue da $A > a^{k} > 0$ ;
se $0 < a < 1$ , equivale al sistema

{A < a^{k} A > 0

Per esempio, con base maggiore di $1$ : $lo g_{3} (x - 1) > 2$ equivale a $x - 1 > 3^{2} = 9$ , cioè $x > 10$ .

Esercizi svolti su questo argomento

Argomento successivo: Equazioni e disequazioni esponenziali →