Teoria

Geometria analitica e coniche

Punti e rette nel piano cartesiano, poi parabola, circonferenza, ellisse e iperbole, con il metodo per riconoscere una conica dalla sua equazione e disegnarla.

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Il piano cartesiano
La retta
La parabola
La circonferenza
L’ellisse
L’iperbole
Riconoscere una conica

Il piano cartesiano

Distanza tra due punti e punto medio

Dati $A (x_{1}, y_{1})$ e $B (x_{2}, y_{2})$ :

\overline{A B} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}, M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}) .

La distanza è il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di cateti $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ e $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ ; il punto medio ha per coordinate le medie delle coordinate. Queste due formule servono in tutto il capitolo: la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole sono definite proprio tramite distanze.

Esempio

$A (1, 2)$ e $B (4, 6)$ : la distanza è $\overline{A B} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ e il punto medio è $M (\frac{5}{2}, 4)$ .

La retta

Equazione della retta

Una retta non verticale ha equazione esplicita

y = m x + q,

dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ è l’ordinata del punto di intersezione con l’asse $y$ . Una retta verticale ha equazione $x = c$ . Ogni retta, verticale o no, si scrive in forma implicita

a x + b y + c = 0, (a, b) \neq = (0, 0);

per $b \neq = 0$ le due forme si traducono l’una nell’altra con $m = - \frac{a}{b}$ e $q = - \frac{c}{b}$ . La forma esplicita si legge come funzione e si disegna subito; la forma implicita comprende anche le rette verticali e compare nella formula della distanza punto-retta.

Coefficiente angolare, rette per un punto, parallelismo e perpendicolarità

Il coefficiente angolare della retta per due punti $A (x_{1}, y_{1})$ e $B (x_{2}, y_{2})$ con $x_{1} \neq = x_{2}$ è

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}},

il rapporto tra la variazione di $y$ e la variazione di $x$ . La retta di coefficiente angolare $m$ passante per il punto $P (x_{0}, y_{0})$ è

y - y_{0} = m (x - x_{0}) .

Due rette non verticali di coefficienti $m_{1}$ e $m_{2}$ sono parallele se e solo se $m_{1} = m_{2}$ ; sono perpendicolari se e solo se $m_{1} m_{2} = - 1$ , cioè $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ . Con queste tre formule si scrive la retta richiesta in quasi tutti gli esercizi: si trova $m$ dai dati e si impone il passaggio per il punto.

Esempio

La retta per $P (1, 3)$ perpendicolare a $y = 2 x - 5$ ha coefficiente angolare $m = - \frac{1}{2}$ , quindi è $y - 3 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ , cioè $y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$ .

Distanza di un punto da una retta

La distanza del punto $P (x_{0}, y_{0})$ dalla retta $r$ di equazione $a x + b y + c = 0$ è

d (P, r) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}} .

La retta va scritta in forma implicita prima di applicare la formula. La distanza punto-retta serve anche con le coniche, ad esempio per imporre che una retta sia tangente a una circonferenza: la tangenza equivale all’uguaglianza tra la distanza del centro dalla retta e il raggio.

Esempio

Distanza di $P (2, 1)$ dalla retta $3 x - 4 y + 1 = 0$ :

d = \frac{∣3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 1∣}{9 + 16} = \frac{3}{5} .

La parabola

Parabola y = ax² + bx + c

Il grafico di $y = a x^{2} + b x + c$ con $a \neq = 0$ è una parabola con asse di simmetria verticale. Il vertice ha coordinate

V (- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b ^{2}}{4 a}),

e l’ordinata del vertice si può anche calcolare sostituendo l’ascissa $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ nell’equazione; l’asse di simmetria è la retta $x = x_{V}$ . La concavità dipende dal segno di $a$ :

se $a > 0$ la concavità è rivolta verso l’alto e il vertice è il punto più basso;
se $a < 0$ la concavità è rivolta verso il basso e il vertice è il punto più alto.

Le intersezioni con l’asse $x$ sono le soluzioni di $a x^{2} + b x + c = 0$ : due punti se $Δ > 0$ , uno se $Δ = 0$ , nessuno se $Δ < 0$ . L’intersezione con l’asse $y$ è il punto $(0, c)$ . Vertice, concavità e intersezioni bastano per disegnare la parabola.

Esempio

$y = x^{2} - 2 x - 3$ : il vertice è $V (1, - 4)$ , la concavità è verso l’alto poiché $a = 1 > 0$ , le intersezioni con l’asse $x$ sono $(- 1, 0)$ e $(3, 0)$ , quella con l’asse $y$ è $(0, - 3)$ .

y = x² − 2x − 3 con il vertice V(1, −4)

La circonferenza

Circonferenza

La circonferenza di centro $C (x_{0}, y_{0})$ e raggio $r > 0$ è il luogo dei punti a distanza $r$ da $C$ ; elevando al quadrato la formula della distanza si ottiene l’equazione canonica

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2} .

Sviluppando i quadrati si arriva alla forma generale

x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0,

con $a = - 2 x_{0}$ , $b = - 2 y_{0}$ e $c = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}$ . Dalla forma generale si risale a centro e raggio:

C (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}), r = \frac{a ^{2}}{4} + \frac{b ^{2}}{4} - c,

purché la quantità sotto radice sia positiva. Una circonferenza in forma generale si riconosce da due tratti: $x^{2}$ e $y^{2}$ hanno lo stesso coefficiente e il termine $x y$ non compare.

Completamento del quadrato

Per ogni $a \in R$ vale

x^{2} + a x = (x + \frac{a}{2})^{2} - \frac{a ^{2}}{4} .

Il completamento del quadrato riscrive un’equazione di secondo grado in forma canonica senza formule da ricordare: si raggruppano i termini in $x$ e quelli in $y$ , si completa ciascun gruppo e si porta la costante a destra. È il procedimento con cui si trovano centro e raggio di una circonferenza e con cui si riduce una conica qualunque alla sua forma canonica.

Esempio

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ . Completando i quadrati: $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ e $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ , quindi l’equazione diventa

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 :

una circonferenza di centro $C (1, 2)$ e raggio $r = 2$ . Per disegnarla si segna il centro e si marcano i quattro punti a distanza $2$ da esso lungo le direzioni degli assi: $(3, 2)$ , $(- 1, 2)$ , $(1, 4)$ e $(1, 0)$ .

Attenzione

Non ogni equazione della forma $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ rappresenta una circonferenza. In $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 = 0$ il completamento dà $(x - 1)^{2} + y^{2} = - 5$ , e una somma di quadrati non può essere negativa, quindi nessun punto soddisfa l’equazione.

L’ellisse

Ellisse in forma canonica

L’ellisse in forma canonica, con centro nell’origine e assi di simmetria sugli assi cartesiani, ha equazione

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a, b > 0.

I numeri $a$ e $b$ sono i semiassi: l’ellisse interseca l’asse $x$ nei vertici $(\pm a, 0)$ e l’asse $y$ nei vertici $(0, \pm b)$ , e tutto il grafico sta nel rettangolo $- a \leq x \leq a$ , $- b \leq y \leq b$ . L’ellisse è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è costante; questo enunciato si assume. I fuochi stanno sull’asse del semiasse maggiore:

se $a > b$ i fuochi sono $(\pm c, 0)$ con $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ;
se $b > a$ i fuochi sono $(0, \pm c)$ con $c^{2} = b^{2} - a^{2}$ .

Per disegnare l’ellisse si segnano i quattro vertici e si raccorda con una curva ovale simmetrica rispetto ai due assi.

Esempio

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ : i semiassi sono $a = 3$ e $b = 2$ , i vertici sono $(\pm 3, 0)$ e $(0, \pm 2)$ . Poiché $a > b$ , i fuochi stanno sull’asse $x$ : da $c^{2} = 9 - 4 = 5$ segue che sono $(\pm 5, 0)$ .

L’iperbole

Iperbole in forma canonica

L’iperbole in forma canonica con i fuochi sull’asse $x$ ha equazione

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a, b > 0.

Interseca l’asse $x$ nei vertici $(\pm a, 0)$ e non interseca l’asse $y$ : il grafico è formato da due rami, uno a destra di $x = a$ e uno a sinistra di $x = - a$ . I fuochi sono $(\pm c, 0)$ con $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , e l’iperbole è il luogo dei punti per cui la differenza delle distanze dai fuochi è costante in valore assoluto; questo enunciato si assume. I due rami si avvicinano indefinitamente agli asintoti

y = \frac{b}{a} x, y = - \frac{b}{a} x .

L’equazione $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse $y$ , vertici $(0, \pm b)$ e gli stessi asintoti. Per disegnare un’iperbole si traccia il rettangolo di lati $x = \pm a$ e $y = \pm b$ , si prolungano le sue diagonali, che sono gli asintoti, e si disegnano i rami a partire dai vertici, avvicinandoli agli asintoti.

Esempio

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ : i vertici sono $(\pm 2, 0)$ , da $c^{2} = 4 + 9 = 13$ i fuochi sono $(\pm 13, 0)$ , gli asintoti sono $y = \pm \frac{3}{2} x$ . I rami passano per i vertici e si schiacciano sugli asintoti allontanandosi dall’origine.

Riconoscere una conica

Riconoscere una conica dall'equazione

Un’equazione di secondo grado in $x$ e $y$ senza il termine $x y$ ,

A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0,

rappresenta una conica con assi paralleli agli assi cartesiani. Il tipo si legge dai coefficienti $A$ e $C$ dei termini quadratici:

uno solo tra $A$ e $C$ è diverso da zero, e l’altra variabile compare al primo grado: parabola;
$A = C \neq = 0$ : circonferenza;
$A$ e $C$ hanno lo stesso segno ma valori diversi: ellisse;
$A$ e $C$ hanno segni opposti: iperbole.

Il completamento dei quadrati può anche portare a un caso degenere, come un solo punto o nessun punto per una somma di quadrati uguale a zero o a un numero negativo; il tipo definitivo si conferma dopo la riduzione.

Procedimento per ridurre e disegnare

Per disegnare la conica di equazione $A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ :

si raccoglie $A$ nei termini in $x$ e $C$ nei termini in $y$ ;
si completa il quadrato in ciascun gruppo;
si porta la costante a destra e si divide per essa, ottenendo la forma canonica centrata in un punto $(x_{0}, y_{0})$ ;
si segnano centro e vertici, e per l’iperbole gli asintoti, traslati nel centro.

La forma canonica è quella delle sezioni precedenti con $x - x_{0}$ e $y - y_{0}$ al posto di $x$ e $y$ : la conica è quella canonica traslata del vettore $(x_{0}, y_{0})$ .

Esempio

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x - 16 y - 11 = 0$ . I coefficienti dei quadrati sono $9$ e $4$ , dello stesso segno e diversi, quindi l’equazione rappresenta un’ellisse. Raccogliendo e completando:

9 (x^{2} - 2 x) + 4 (y^{2} - 4 y) - 11 9 (x - 1)^{2} - 9 + 4 (y - 2)^{2} - 16 - 11 9 (x - 1)^{2} + 4 (y - 2)^{2} = 0 = 0 = 36,

e dividendo per $36$ :

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{9} = 1.

È un’ellisse di centro $(1, 2)$ e semiassi $2$ lungo $x$ e $3$ lungo $y$ : i vertici sono $(3, 2)$ , $(- 1, 2)$ , $(1, 5)$ e $(1, - 1)$ . Poiché il semiasse maggiore è verticale, da $c^{2} = 9 - 4 = 5$ i fuochi sono $(1, 2 \pm 5)$ .

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