Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

Proprietà del valore assoluto

Per ogni $a,b\in \mathbb{R}$ valgono

La prima si verifica esaminando i quattro casi sui segni di $a$ e $b$ e serve a scomporre un modulo, per esempio $|-3x|=3|x|$. La seconda vale perché $a$ e $|a|$ differiscono al più per il segno, che il quadrato cancella; poiché i moduli non sono negativi, confrontare due moduli equivale a confrontare i loro quadrati, e su questa osservazione si fonda la risoluzione di $|A|>|B|$ per elevamento al quadrato. La terza è la disuguaglianza triangolare e viene usata nelle maggiorazioni, per esempio nel capitolo sui limiti: per $a=5$ e $b=-3$ si ha $|5+(-3)|=2\le 8=|5|+|-3|$, e l’uguaglianza vale quando $a$ e $b$ hanno lo stesso segno.

Equazione della forma |A| = k

$A$ è un’espressione nella variabile $x$ e $k$ una costante. I soli numeri con valore assoluto $k>0$ sono $k$ e $-k$, quindi i casi sono tre.

• $k>0$: $|A|=k⟺A=k\vee A=-k$.
• $k=0$: $|A|=0⟺A=0$, perché il solo numero con valore assoluto nullo è $0$.
• $k<0$: nessuna soluzione, perché $|A|\ge 0$ per ogni $x$.

Equazione della forma |A| = |B|

Due numeri hanno lo stesso valore assoluto quando sono uguali oppure opposti, quindi

Non serve alcuna condizione aggiuntiva, perché i due membri non sono mai negativi.

Equazione della forma |A| = B

Se il secondo membro è un’espressione $B$ nella variabile, il primo membro non è mai negativo, quindi l’equazione impone anche la condizione $B\ge 0$:

Le soluzioni delle due equazioni che non soddisfano la condizione $B\ge 0$ vanno scartate.

Disequazione della forma |A| < k

La disequazione $|A|<k$ chiede che $A$ disti dall’origine meno di $k$.

• $k>0$: $|A|<k$ equivale alla doppia disuguaglianza $-k<A<k$, cioè al sistema

• $k\le 0$: nessuna soluzione, perché $|A|\ge 0$.

Per $|A|\le k$ con $k>0$ si ha $-k\le A\le k$; per $k=0$ resta la sola equazione $A=0$; per $k<0$ nessuna soluzione.

Disequazione della forma |A| > k

La disequazione $|A|>k$ chiede che $A$ disti dall’origine più di $k$.

• $k>0$: $|A|>k⟺A<-k\vee A>k$, unione di due semirette.
• $k=0$: $|A|>0⟺A\ne 0$.
• $k<0$: la disequazione è soddisfatta da ogni $x$ per cui $A$ è definita, perché $|A|\ge 0>k$.

Per $|A|\ge k$ con $k>0$ si ha $A\le -k\vee A\ge k$; per $k\le 0$ è soddisfatta ovunque.

Disequazioni della forma |A| < B e |A| > B

Quando il secondo membro è un’espressione $B$, le forme risolutive restano le stesse e i casi sul segno di $B$ risultano già incorporati:

Il sistema di sinistra impone da solo $B>0$: dalle condizioni $A<B$ e $-B<A$ segue $-B<B$, cioè $B>0$. L’unione di destra copre anche i punti in cui $B<0$: se $A\ge 0$ allora $A>B$; se $A<0$ allora $-A>0>B$, cioè $A<-B$. Perciò entrambe le forme si usano senza discutere il segno di $B$. Per $|A|\le B$ e $|A|\ge B$ valgono le stesse forme con le disuguaglianze larghe.

Studio dei segni per zone

Quando compaiono due o più valori assoluti con argomenti diversi, si cercano i punti in cui gli argomenti si annullano; questi punti dividono la retta reale in zone e in ogni zona ciascun modulo si riscrive senza barre secondo il segno del proprio argomento. In ciascuna zona si risolve il sistema formato dalla condizione di zona e dall’equazione o disequazione riscritta; l’insieme delle soluzioni è l’unione dei risultati delle zone. Il procedimento segue dalla definizione di valore assoluto applicata a ogni argomento.