Teoria

Equazioni e disequazioni esponenziali

La funzione a^x con le sue proprietà, e i metodi per risolvere equazioni e disequazioni in cui l'incognita compare all'esponente.

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La funzione esponenziale
Le regole delle potenze
Equazioni con la stessa base
Equazioni risolte con il logaritmo
Equazioni con sostituzione
Disequazioni esponenziali
Disequazioni con sostituzione

La funzione esponenziale

Funzione esponenziale

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ , la funzione esponenziale di base $a$ associa a ogni $x \in R$ il numero $a^{x}$ . Proprietà:

$a^{x} > 0$ per ogni $x \in R$ : il grafico sta sopra l’asse $x$ e la retta $y = 0$ è asintoto orizzontale;
$a^{0} = 1$ , quindi il grafico passa per il punto $(0, 1)$ qualunque sia la base;
la funzione è iniettiva: esponenti diversi danno potenze diverse;
per $a > 1$ la funzione è strettamente crescente; per $0 < a < 1$ è strettamente decrescente.

Su iniettività e monotonia si fondano tutti i metodi risolutivi di questo capitolo: l’iniettività giustifica il passaggio dalle potenze agli esponenti nelle equazioni, la monotonia governa il verso nelle disequazioni.

I due grafici di base

Per $a = 2$ la funzione cresce; per $a = \frac{1}{2}$ decresce, poiché $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ .

y = 2^x: base maggiore di 1, funzione crescente

y = (1/2)^x: base tra 0 e 1, funzione decrescente

Le regole delle potenze

Regole delle potenze

Per $a > 0$ e $x, y \in R$ :

a^{x} a^{y} = a^{x + y}, \frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}, (a^{x})^{y} = a^{x y}, a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}} .

Servono a riscrivere i due membri di un’equazione o di una disequazione come potenze della stessa base. Per esempio $8^{x} = (2^{3})^{x} = 2^{3 x}$ e $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ .

Equazioni con la stessa base

Uguaglianza di potenze con la stessa base

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ :

a^{A} = a^{B} ⟺ A = B .

Se $A = B$ le due potenze coincidono; viceversa, poiché la funzione esponenziale è iniettiva, da $a^{A} = a^{B}$ segue $A = B$ . L’equazione sugli esponenti è un’equazione algebrica e si risolve con i metodi ordinari.

Esempio

2^{x + 1} = 16 ⟺ 2^{x + 1} = 2^{4} ⟺ x + 1 = 4 ⟺ x = 3

Il numero $16$ è stato riscritto come potenza di $2$ , quindi l’uguaglianza delle potenze equivale all’uguaglianza degli esponenti.

Equazioni risolte con il logaritmo

Equazione con basi diverse

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ e $k > 0$ :

a^{A} = k ⟺ A = lo g_{a} k .

Il logaritmo $lo g_{a} k$ è per definizione l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $k$ , perciò $k = a^{l o g_{a} k}$ e l’equazione si riscrive $a^{A} = a^{l o g_{a} k}$ , equivalente ad $A = lo g_{a} k$ per l’uguaglianza di potenze con la stessa base. Il metodo si usa quando $k$ non è una potenza di $a$ con esponente razionale riconoscibile.

Esempio

3^{x} = 5 ⟺ x = lo g_{3} 5, 2^{x - 1} = 7 ⟺ x - 1 = lo g_{2} 7 ⟺ x = 1 + lo g_{2} 7

Nel secondo caso il logaritmo dà il valore dell’intero esponente $x - 1$ , quindi la soluzione si ottiene risolvendo l’equazione di primo grado $x - 1 = lo g_{2} 7$ .

Attenzione

L’equazione $a^{x} = k$ con $k \leq 0$ non ha soluzioni, perché $a^{x} > 0$ per ogni $x \in R$ . Per esempio $2^{x} = - 4$ e $5^{x} = 0$ non hanno soluzioni: una potenza di base positiva non è mai negativa né nulla.

Equazioni con sostituzione

Metodo di sostituzione

Se nell’equazione compaiono $a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ e $a^{x}$ , la sostituzione $t = a^{x}$ la trasforma in un’equazione algebrica in $t$ . Poiché $a^{x} > 0$ per ogni $x$ , la nuova incognita è soggetta alla condizione $t > 0$ , quindi le eventuali soluzioni con $t \leq 0$ vanno scartate. Per ogni valore accettabile di $t$ , l’equazione $a^{x} = t$ si risolve con l’uguaglianza di potenze con la stessa base oppure con il logaritmo.

Esempio

9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0

Poiché $9^{x} = (3^{x})^{2}$ , con la sostituzione $t = 3^{x}$ , $t > 0$ , l’equazione diventa $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , con soluzioni $t = 1$ e $t = 3$ , entrambe positive e quindi accettabili. Da $3^{x} = 1 = 3^{0}$ segue $x = 0$ ; da $3^{x} = 3$ segue $x = 1$ .

Disequazioni esponenziali

Disequazioni con la stessa base

Per $a > 0$ , $a \neq = 1$ :

se $a > 1$ , allora $a^{A} > a^{B} ⟺ A > B$ : il verso si mantiene, perché la funzione esponenziale di base $a$ è strettamente crescente;
se $0 < a < 1$ , allora $a^{A} > a^{B} ⟺ A < B$ : il verso si rovescia, perché la funzione è strettamente decrescente.

Le stesse regole valgono con i simboli $\geq$ , $<$ , $\leq$ . Una disequazione del tipo $a^{A} > k$ con $k > 0$ si riconduce a questa forma scrivendo $k$ come potenza di $a$ , eventualmente con il logaritmo: $k = a^{l o g_{a} k}$ .

Base maggiore di 1

3^{2 x - 1} < 27 ⟺ 3^{2 x - 1} < 3^{3} ⟺ 2 x - 1 < 3 ⟺ x < 2

La base $3$ è maggiore di $1$ , quindi il verso si mantiene nel passaggio agli esponenti.

Base tra 0 e 1

(\frac{1}{2})^{x} > 8 ⟺ (\frac{1}{2})^{x} > (\frac{1}{2})^{- 3} ⟺ x < - 3

Poiché $8 = 2^{3} = (\frac{1}{2})^{- 3}$ e la base $\frac{1}{2}$ è compresa tra $0$ e $1$ , nel passaggio agli esponenti il verso si rovescia.

Disequazioni con sostituzione

Osservazione

In una disequazione la sostituzione $t = a^{x}$ si usa come nelle equazioni, con la stessa condizione $t > 0$ : l’insieme delle soluzioni della disequazione in $t$ va intersecato con $t > 0$ prima di tornare alla variabile $x$ . Ogni condizione ottenuta su $t$ si traduce poi in una disequazione esponenziale con la stessa base.

Esempio

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 > 0

Con $t = 2^{x}$ , $t > 0$ , la disequazione $t^{2} - 3 t + 2 > 0$ è soddisfatta per $t < 1$ oppure $t > 2$ ; l’intersezione con $t > 0$ dà $0 < t < 1$ oppure $t > 2$ . Da $0 < 2^{x} < 1 = 2^{0}$ segue $x < 0$ , poiché la base $2$ è maggiore di $1$ ; da $2^{x} > 2$ segue $x > 1$ . Le soluzioni sono $x < 0$ oppure $x > 1$ .

Esercizi svolti su questo argomento

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