Esercizi da fare

Fattorizzazione, Ruffini e divisione tra polinomi

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Sviluppo di un quadrato e di un cubo di binomio

Sviluppare

(2 x - 5)^{2} e (x + 3)^{3} .

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$(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ e $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ .

2. Scomposizione di differenze di quadrati

Scomporre in fattori

9 x^{2} - 16 e x^{4} - 81.

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$9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ e $x^{4} - 81 = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$ .

3. Somma e differenza di cubi

Scomporre in fattori

x^{3} + 8 e 27 x^{3} - 1.

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$x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ e $27 x^{3} - 1 = (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$ .

4. Raccoglimento totale

Scomporre in fattori

12 x^{3} y^{2} - 18 x^{2} y^{3} + 6 x^{2} y^{2} .

Mostra soluzione

$12 x^{3} y^{2} - 18 x^{2} y^{3} + 6 x^{2} y^{2} = 6 x^{2} y^{2} (2 x - 3 y + 1)$ .

5. Divisione con l'algoritmo

Determinare quoziente e resto della divisione di

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 per x - 2.

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$Q (x) = x^{2} - 2 x - 3$ e $R = 0$ : la divisione è esatta.

6. Divisione per un polinomio di secondo grado

Determinare quoziente e resto della divisione di

2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 per x^{2} + 1.

Mostra soluzione

$Q (x) = 2 x^{2} + x - 5$ e $R = 4$ .

7. Resto senza eseguire la divisione

Calcolare, senza eseguire le divisioni, il resto della divisione di

P (x) = x^{5} - 2 x^{3} + x - 4

per $x - 1$ e per $x + 2$ .

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$P (1) = - 4$ e $P (- 2) = - 22$ : i resti sono $- 4$ e $- 22$ .

8. Un coefficiente determinato dalla divisibilità

Determinare $k$ in modo che $x - 3$ divida

P (x) = x^{3} - k x + 6.

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Da $P (3) = 33 - 3 k = 0$ segue $k = 11$ .

9. Scomposizione con la regola di Ruffini

Scomporre completamente

x^{3} + x^{2} - 10 x + 8.

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$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8 = (x - 1) (x - 2) (x + 4)$ .

10. Radici razionali di un polinomio

Elencare i candidati razionali e scomporre completamente

3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 2.

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I candidati sono $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm \frac{1}{3}$ , $\pm \frac{2}{3}$ ; la scomposizione è $(x - 1) (x + 1) (3 x - 2)$ .

11. Raccoglimento parziale

Scomporre in fattori

x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 12.

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$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 12 = (x + 4) (x^{2} + 3)$ .

12. Trinomio speciale in x²

Scomporre completamente

x^{4} - 13 x^{2} + 36.

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$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)$ .