Equazioni e disequazioni goniometriche

$x=\frac{\pi }{6}+2n\pi$ oppure $x=\frac{5\pi }{6}+2n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

$x=\pm \frac{\pi }{6}+2n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

$x=\frac{\pi }{3}+n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

L’equazione equivale a $\sin x=\frac{4}{3}$, e poiché $\frac{4}{3}>1$ non ha soluzioni.

Dalle due alternative: $x=n\pi$ oppure $x=\frac{n\pi }{2}$, con $n\in \mathbb{Z}$; la prima famiglia è contenuta nella seconda, quindi le soluzioni sono $x=\frac{n\pi }{2}$.

Dalle due alternative: $x=\frac{\pi }{4}+2n\pi$ oppure $x=\frac{\pi }{4}+\frac{2n\pi }{3}$, con $n\in \mathbb{Z}$; la prima famiglia è contenuta nella seconda, quindi le soluzioni sono $x=\frac{\pi }{4}+\frac{2n\pi }{3}$.

Con $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ l’equazione diventa $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$, da cui $\sin x=\frac{1}{2}$ oppure $\sin x=-1$. Soluzioni: $x=\frac{\pi }{6}+2n\pi$, $x=\frac{5\pi }{6}+2n\pi$ oppure $x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Le radici in $t=\cos x$ sono $t=3$, da scartare, e $t=\frac{1}{2}$. Soluzioni: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Dividendo per ${\cos }^{2}x$ si ottiene $3{\tan }^{2}x-4\tan x+1=0$, da cui $\tan x=1$ oppure $\tan x=\frac{1}{3}$. Soluzioni: $x=\frac{\pi }{4}+n\pi$ oppure $x=\arctan \frac{1}{3}+n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Con l’angolo aggiunto l’equazione diventa $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$. Soluzioni: $x=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ oppure $x=\pi +2n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{3\pi }{4}$.

La disequazione equivale a $\cos x>-\frac{1}{2}$. Soluzione: $0\le x<\frac{2\pi }{3}$ oppure $\frac{4\pi }{3}<x<2\pi$.