Esercizi da fare

Geometria analitica e coniche

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Distanza tra due punti e punto medio

Dati $A (- 2, 1)$ e $B (4, 9)$ , calcolare la distanza $\overline{A B}$ e il punto medio del segmento $A B$ .

Mostra soluzione

$\overline{A B} = 36 + 64 = 10$ e $M (1, 5)$ .

2. Retta per due punti

Scrivere l’equazione della retta passante per $A (0, - 1)$ e $B (2, 3)$ .

Mostra soluzione

$y = 2 x - 1$ .

3. Retta perpendicolare per un punto

Scrivere l’equazione della retta passante per $P (3, - 1)$ e perpendicolare alla retta di equazione $x - 2 y + 4 = 0$ .

Mostra soluzione

La retta data ha coefficiente angolare $\frac{1}{2}$ , quindi la perpendicolare ha coefficiente angolare $- 2$ : $y = - 2 x + 5$ .

4. Distanza di un punto da una retta

Calcolare la distanza del punto $P (1, - 2)$ dalla retta di equazione $4 x + 3 y - 10 = 0$ .

Mostra soluzione

$d = \frac{∣4 - 6 - 10∣}{5} = \frac{12}{5}$ .

5. Vertice e intersezioni di una parabola

Determinare vertice, asse di simmetria e intersezioni con gli assi della parabola

y = x^{2} - 6 x + 5.

Mostra soluzione

Vertice $V (3, - 4)$ , asse $x = 3$ , intersezioni $(1, 0)$ , $(5, 0)$ e $(0, 5)$ .

6. Parabola con concavità verso il basso

Determinare vertice, concavità e intersezioni con l’asse $x$ della parabola

y = - x^{2} + 4 x .

Mostra soluzione

Concavità verso il basso, vertice $V (2, 4)$ , intersezioni $(0, 0)$ e $(4, 0)$ .

7. Equazione di una circonferenza da centro e raggio

Scrivere, in forma canonica e in forma generale, l’equazione della circonferenza di centro $C (- 1, 3)$ e raggio $r = 2$ .

Mostra soluzione

$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ , cioè $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ .

8. Centro e raggio con il completamento dei quadrati

Determinare centro e raggio della circonferenza di equazione

x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = 0.

Mostra soluzione

Completando i quadrati si ottiene $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ : centro $C (4, - 3)$ e raggio $r = 5$ .

9. Semiassi e fuochi di un'ellisse

Determinare semiassi, vertici e fuochi dell’ellisse di equazione

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1.

Mostra soluzione

Semiassi $a = 4$ e $b = 7$ , vertici $(\pm 4, 0)$ e $(0, \pm 7)$ ; da $c^{2} = 16 - 7 = 9$ i fuochi sono $(\pm 3, 0)$ .

10. Vertici, fuochi e asintoti di un'iperbole

Determinare vertici, fuochi e asintoti dell’iperbole di equazione

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1.

Mostra soluzione

Vertici $(\pm 4, 0)$ ; da $c^{2} = 16 + 9 = 25$ i fuochi sono $(\pm 5, 0)$ ; asintoti $y = \pm \frac{3}{4} x$ .

11. Riconoscimento di una conica con coefficienti uguali

Riconoscere la conica di equazione

x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0

e determinarne gli elementi.

Mostra soluzione

I coefficienti di $x^{2}$ e $y^{2}$ sono uguali, e il completamento dei quadrati dà $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ : circonferenza di centro $C (- 2, 1)$ e raggio $r = 2$ .

12. Riduzione di una conica a forma canonica

Riconoscere la conica di equazione

4 x^{2} - y^{2} - 8 x - 4 y - 4 = 0,

ridurla a forma canonica e determinarne centro, vertici e asintoti.

Mostra soluzione

I coefficienti quadratici hanno segni opposti, quindi è un’iperbole. La riduzione dà $(x - 1)^{2} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$ : centro $(1, - 2)$ , vertici $(0, - 2)$ e $(2, - 2)$ , asintoti $y + 2 = \pm 2 (x - 1)$ .