Esercizi svolti · Scheda 1

Campi di cariche puntiformi allineate

Teoria usata: Campo elettrico Forza su una carica posta nel campo Campo di una carica puntiforme Principio di sovrapposizione per il campo elettrico

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Esercizio 1

Una carica puntiforme $Q = 3, 0 nC$ è ferma nel vuoto. Calcolare il campo elettrico nel punto $P$ a distanza $r = 15 cm$ da $Q$ e la forza che subisce un elettrone posto in $P$ .

E = k \frac{Q}{r ^{2}}, F = e E

E F = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1 5 ^{2}} N/C = \frac{26 , 97}{0 , 0225} N/C \approx 1, 2 \cdot 1 0^{3} N/C = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 1, 20 \cdot 1 0^{3} N \approx 1, 9 \cdot 1 0^{- 16} N

La carica è puntiforme e ferma, quindi si applica la formula del campo di una carica puntiforme. Poiché $Q > 0$ , il campo in $P$ è diretto lungo la congiungente, con verso uscente da $Q$ . La forza su una carica posta nel campo è $F = q E$ ; l’elettrone ha carica $- e$ , perciò la forza ha modulo $e E$ e verso opposto al campo, cioè l’elettrone è attratto verso $Q$ , come prevede la legge di Coulomb per cariche di segno opposto. I risultati hanno due cifre significative, come i dati.

Esercizio 2

Due cariche puntiformi $q_{1} = 2, 0 nC$ e $q_{2} = 8, 0 nC$ sono ferme sull’asse $x$ , in $x = 0$ e in $x = d = 30 cm$ . Calcolare il campo nel punto medio $M$ del segmento che le unisce e trovare il punto dell’asse $x$ in cui il campo è nullo.

E_{x} (M) = k \frac{q _{1}}{( \frac{d}{2} ) ^{2}} - k \frac{q _{2}}{( \frac{d}{2} ) ^{2}} = \frac{4 k ( q _{1} - q _{2} )}{d ^{2}}

E_{x} (M) = \frac{4 \cdot 8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( 2 , 0 - 8 , 0 ) \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 3 0 ^{2}} N/C \approx - 2, 4 \cdot 1 0^{3} N/C

k \frac{q _{1}}{x ^{2}} = k \frac{q _{2}}{( d - x ) ^{2}} ⟹ \frac{d - x}{x} = \frac{q _{2}}{q _{1}} = 2 ⟹ x = \frac{d}{3} = 10 cm

Per il principio di sovrapposizione il campo in $M$ è la somma dei campi delle due cariche, entrambi diretti lungo l’asse $x$ . Il campo di $q_{1}$ , positiva, è uscente da $q_{1}$ , quindi in $M$ è rivolto verso $x$ crescenti; il campo di $q_{2}$ è uscente da $q_{2}$ , quindi in $M$ è rivolto verso $x$ decrescenti. Le distanze sono uguali e $q_{2}$ è maggiore, perciò il campo in $M$ ha modulo $2, 4 \cdot 1 0^{3} N/C$ ed è diretto verso $q_{1}$ .

Il campo può annullarsi solo dove i due campi hanno versi opposti. Fuori dal segmento le due cariche positive producono campi con lo stesso verso, quindi il punto cercato sta tra le cariche, a distanza $x$ da $q_{1}$ e $d - x$ da $q_{2}$ . Uguagliando i moduli e prendendo la radice quadrata, con $0 < x < d$ , si trova $x = 10 cm$ : il punto di campo nullo è più vicino alla carica minore, come deve essere perché il campo decresce con la distanza.

Esercizio 3

Una carica $q_{1} = 4, 0 nC$ è in $x = 0$ e una carica $q_{2} = - 1, 0 nC$ è in $x = d = 20 cm$ . Calcolare il campo nel punto $x = 10 cm$ e trovare il punto dell’asse $x$ , a distanza finita, in cui il campo è nullo.

E_{x} (10 cm) = k \frac{q _{1}}{0 , 1 0 ^{2}} + k \frac{∣ q _{2} ∣}{0 , 1 0 ^{2}} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 010} N/C \approx 4, 5 \cdot 1 0^{3} N/C

x > d : k \frac{q _{1}}{x ^{2}} = k \frac{∣ q _{2} ∣}{( x - d ) ^{2}} ⟹ \frac{x}{x - d} = \frac{q _{1}}{∣ q _{2} ∣} = 2 ⟹ x = 2 d = 40 cm

Nel punto

P

, a

40 cm

q_{1}

e a

20 cm

q_{2}

, i campi

E_{1}

E_{2}

hanno lo stesso modulo e versi opposti

In $x = 10 cm$ il campo di $q_{1}$ , positiva, è uscente e rivolto verso $x$ crescenti; il campo di $q_{2}$ , negativa, è diretto verso $q_{2}$ , cioè anch’esso verso $x$ crescenti. Poiché i due campi sono concordi, per il principio di sovrapposizione i moduli si sommano e il campo vale $4, 5 \cdot 1 0^{3} N/C$ , nel verso delle $x$ crescenti.

Per trovare il punto di campo nullo si esaminano le tre regioni dell’asse. Tra le cariche i campi sono concordi, come appena visto, quindi la somma non si annulla. Per $x < 0$ i campi hanno versi opposti, ma il punto è più vicino a $q_{1}$ , che ha modulo maggiore, perciò il campo di $q_{1}$ prevale. Resta la regione $x > d$ , dove i campi sono opposti e il punto è più vicino alla carica di modulo minore; uguagliando i moduli si ottiene $x = 40 cm$ . L’equazione tra i moduli scritta senza tenere conto delle regioni ha anche la soluzione $x \approx 13 cm$ , che cade tra le cariche, dove i campi sono concordi, e quindi va scartata. Il campo è nullo solo in $x = 40 cm$ , dove entrambi i campi valgono $2, 2 \cdot 1 0^{2} N/C$ .