Rette per un punto e rette per due punti

Theory used: Retta per un punto con coefficiente angolare dato Retta per due punti Equazione della retta in forma implicita

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Esercizio 1

Scrivi l’equazione della retta che passa per $P(-2, 5)$ e ha coefficiente angolare $m = -3$ .

\begin{aligned} y - 5 &= -3\,\big(x - (-2)\big) \\[6pt] y - 5 &= -3\,(x + 2) \\[6pt] y - 5 &= -3x - 6 \\[6pt] y &= -3x - 1 \end{aligned}

Si usa la formula della retta per un punto $y - y_0 = m\,(x - x_0)$ , con $x_0 = -2$ , $y_0 = 5$ e $m = -3$ . Poiché sottrarre $-2$ equivale ad aggiungere $2$ , nel secondo membro compare $x + 2$ . Moltiplicando $-3$ per ciascun termine si ottiene $-3x - 6$ . Infine si aggiunge $5$ ai due membri, e poiché $-6 + 5 = -1$ la retta è $y = -3x - 1$ .

Il risultato si controlla sostituendo l’ascissa di $P$ . Per $x = -2$ si ha $y = -3 \cdot (-2) - 1 = 6 - 1 = 5$ , che è l’ordinata di $P$ .

Esercizio 2

Scrivi l’equazione della retta che passa per $A(1, -1)$ e $B(4, 5)$ .

m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

\begin{aligned} y - (-1) &= 2\,(x - 1) \\[6pt] y + 1 &= 2x - 2 \\[6pt] y &= 2x - 3 \end{aligned}

I due punti hanno ascisse diverse, quindi la retta non è verticale e si calcola il coefficiente angolare con la formula della retta per due punti. La differenza delle ordinate è $5 - (-1) = 6$ e la differenza delle ascisse è $4 - 1 = 3$ , perciò $m = \dfrac{6}{3} = 2$ . In parole, da $A$ a $B$ ci si sposta di $3$ verso destra e di $6$ verso l’alto.

Poi si usa la formula della retta per un punto con il punto $A$ . Il termine $y - (-1)$ è uguale a $y + 1$ , e $2\,(x - 1) = 2x - 2$ . Sottraendo $1$ ai due membri si trova $y = 2x - 3$ . Il controllo con $B$ dà $2 \cdot 4 - 3 = 5$ , che è l’ordinata di $B$ , quindi anche $B$ appartiene alla retta.

Esercizio 3

Scrivi in forma implicita, con coefficienti interi, l’equazione della retta che passa per $A(-2, 3)$ e $B(4, 0)$ .

m = \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}

\begin{aligned} y - 3 &= -\frac{1}{2}\,(x + 2) \\[6pt] y - 3 &= -\frac{1}{2}x - 1 \\[6pt] y &= -\frac{1}{2}x + 2 \end{aligned}

\begin{aligned} 2y &= -x + 4 \\[6pt] x + 2y - 4 &= 0 \end{aligned}

x + 2y - 4 = 0

A (- 2, 3)

B (4, 0)

ci si sposta di

6

verso destra e di

3

verso il basso, quindi

m = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}

La differenza delle ordinate è $0 - 3 = -3$ e la differenza delle ascisse è $4 - (-2) = 6$ . Il coefficiente angolare è quindi $\dfrac{-3}{6}$ , che semplificato per $3$ diventa $-\dfrac{1}{2}$ . Con la formula della retta per un punto e il punto $A$ si scrive $y - 3 = -\dfrac{1}{2}\,(x + 2)$ . Il prodotto di $-\dfrac{1}{2}$ per $x + 2$ è $-\dfrac{1}{2}x - 1$ , perché $\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1$ . Aggiungendo $3$ ai due membri si ottiene la forma esplicita $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ .

Per avere coefficienti interi si moltiplicano i due membri per $2$ , e si ottiene $2y = -x + 4$ . Portando tutti i termini nel primo membro si trova la forma implicita $x + 2y - 4 = 0$ . Il controllo con $B(4, 0)$ dà $4 + 0 - 4 = 0$ , e il controllo con $A(-2, 3)$ dà $-2 + 6 - 4 = 0$ .

Esercizio 4

Scrivi l’equazione della retta che passa per $A(0, 1)$ e $B(2, 5)$ e stabilisci se i punti $A$ , $B$ e $C(5, 11)$ sono allineati, cioè se stanno su una stessa retta.

m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2, \qquad q = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad y = 2x + 1

C(5, 11): \quad 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11

Il coefficiente angolare della retta $AB$ è $\dfrac{4}{2} = 2$ . Il punto $A$ ha ascissa $0$ , quindi sta sull’asse $y$ , e la sua ordinata $1$ è l’ordinata all’origine della retta. Perciò la retta si scrive subito nella forma esplicita $y = 2x + 1$ , senza usare la formula della retta per un punto.

I tre punti sono allineati quando anche $C$ appartiene alla retta $AB$ . Sostituendo l’ascissa $5$ di $C$ si ottiene $2 \cdot 5 + 1 = 11$ , che è proprio l’ordinata di $C$ . Quindi $C$ appartiene alla retta e i tre punti sono allineati.