Equazioni di rette, coefficiente angolare e intersezioni con gli assi

Theory used: Equazione della retta in forma esplicita Equazione della retta in forma implicita Rette parallele agli assi Segno del coefficiente angolare

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Esercizio 1

Scrivi, quando è possibile, in forma esplicita le rette $3x + 2y - 8 = 0$ e $4x - 12 = 0$ . Per ciascuna indica il coefficiente angolare, se è definito, e l’ordinata all’origine, se esiste.

\begin{aligned} 3x + 2y - 8 &= 0 \\[6pt] 2y &= -3x + 8 \\[6pt] y &= -\frac{3}{2}x + 4 \end{aligned} \qquad\qquad m = -\frac{3}{2}, \quad q = 4

4x - 12 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 12 \quad \Longrightarrow \quad x = 3

Nella prima equazione si isola $y$ . Si portano $3x$ e $-8$ nel secondo membro cambiando il loro segno, e si ottiene $2y = -3x + 8$ . Si dividono poi entrambi i membri per $2$ , cioè si divide per $2$ ciascun termine. Il termine $-3x$ diviso per $2$ dà $-\dfrac{3}{2}x$ e il termine $8$ diviso per $2$ dà $4$ . Il coefficiente angolare è il numero che moltiplica $x$ , quindi $m = -\dfrac{3}{2}$ , e l’ordinata all’origine è $q = 4$ . Il coefficiente angolare è negativo, perciò la retta scende.

Nella seconda equazione la $y$ non compare, cioè ha coefficiente $0$ . Aggiungendo $12$ e dividendo per $4$ si ottiene $x = 3$ , che è la retta verticale formata dai punti con ascissa $3$ . Una retta verticale non si può scrivere nella forma $y = mx + q$ , quindi per questa retta il coefficiente angolare non è definito; la retta non taglia l’asse $y$ , perché è parallela a esso.

Esercizio 2

Trova i punti in cui la retta $2x - 3y - 6 = 0$ taglia gli assi e disegnala.

x = 0: \quad -3y - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad -3y = 6 \quad \Longrightarrow \quad y = -2

y = 0: \quad 2x - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 6 \quad \Longrightarrow \quad x = 3

\text{punti} \quad (0, -2) \quad \text{e} \quad (3, 0)

2x - 3y - 6 = 0

La retta

2 x - 3 y - 6 = 0

taglia l'asse

y

(0, - 2)

e l'asse

x

(3, 0)

I punti dell’asse $y$ hanno ascissa $0$ , quindi per trovare dove la retta taglia l’asse $y$ si sostituisce $x = 0$ . L’equazione diventa $-3y - 6 = 0$ ; portando $-6$ nel secondo membro si ha $-3y = 6$ , e dividendo per $-3$ si trova $y = -2$ . Il primo punto è perciò $(0, -2)$ .

I punti dell’asse $x$ hanno ordinata $0$ , perciò si sostituisce $y = 0$ . L’equazione diventa $2x - 6 = 0$ , quindi $2x = 6$ e $x = 3$ . Il secondo punto è $(3, 0)$ . Per due punti passa una sola retta, quindi si disegna la retta che unisce $(0, -2)$ e $(3, 0)$ . In forma esplicita la retta è $y = \dfrac{2}{3}x - 2$ , e l’ordinata all’origine $-2$ coincide con l’ordinata del primo punto trovato.

Esercizio 3

Stabilisci se i punti $A(1, 3)$ e $B(-1, -1)$ appartengono alla retta $5x - 2y + 1 = 0$ . Trova poi il valore di $k$ per cui il punto $C(k, 8)$ appartiene alla stessa retta.

A(1, 3): \quad 5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0

B(-1, -1): \quad 5 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 1 = -5 + 2 + 1 = -2 \neq 0

\begin{aligned} 5k - 2 \cdot 8 + 1 &= 0 \\[6pt] 5k - 15 &= 0 \\[6pt] 5k &= 15 \\[6pt] k &= 3 \end{aligned}

Un punto appartiene alla retta quando le sue coordinate, sostituite al posto di $x$ e $y$ , rendono vera l’equazione. Per $A$ il primo membro vale $5 - 6 + 1 = 0$ , quindi l’uguaglianza è vera e $A$ appartiene alla retta. Per $B$ i prodotti sono $5 \cdot (-1) = -5$ e $-2 \cdot (-1) = 2$ , e il primo membro vale $-5 + 2 + 1 = -2$ . Poiché $-2$ è diverso da $0$ , il punto $B$ non appartiene alla retta.

Per il punto $C$ si sostituiscono $x = k$ e $y = 8$ . Il prodotto $2 \cdot 8$ vale $16$ , e $-16 + 1 = -15$ , quindi l’equazione diventa $5k - 15 = 0$ . Aggiungendo $15$ si ottiene $5k = 15$ , e dividendo per $5$ si trova $k = 3$ . Il punto è $C(3, 8)$ , e infatti $15 - 16 + 1 = 0$ .