Distanze tra punti e punti medi

Theory used: Distanza tra punti con la stessa ordinata o la stessa ascissa Distanza tra due punti Punto medio di un segmento

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Esercizio 1

Calcola la distanza tra i punti $A(-3, 2)$ e $B(5, 2)$ e trova il punto medio del segmento $AB$ .

\overline{AB} = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

M\left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = M\left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = M(1, 2)

I due punti hanno la stessa ordinata $2$ , quindi il segmento $AB$ è orizzontale. La sua lunghezza è la differenza tra l’ascissa maggiore, $5$ , e l’ascissa minore, $-3$ . Poiché sottrarre $-3$ equivale ad aggiungere $3$ , si ottiene $\overline{AB} = 8$ .

Le coordinate del punto medio sono le medie delle coordinate degli estremi. Per l’ascissa si calcola $\dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ ; per l’ordinata si calcola $\dfrac{2 + 2}{2} = 2$ . Quindi $M(1, 2)$ . Il punto $M$ dista $4$ da entrambi gli estremi, perché $1 - (-3) = 4$ e $5 - 1 = 4$ .

Esercizio 2

Calcola la distanza tra i punti $A(-2, -3)$ e $B(4, 5)$ e trova il punto medio del segmento $AB$ .

\begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{\big(4 - (-2)\big)^2 + \big(5 - (-3)\big)^2} \\[6pt] &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\[6pt] &= \sqrt{36 + 64} \\[6pt] &= \sqrt{100} = 10 \end{aligned}

M\left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = M\left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = M(1, 1)

I due punti hanno ascisse diverse e ordinate diverse, quindi si usa la formula della distanza tra due punti. La differenza delle ascisse è $4 - (-2) = 4 + 2 = 6$ e la differenza delle ordinate è $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ . Questi due numeri sono i cateti del triangolo rettangolo che ha $AB$ come ipotenusa. I loro quadrati sono $36$ e $64$ , la somma è $100$ , e la radice quadrata di $100$ è $10$ , perché $10 \cdot 10 = 100$ .

Per il punto medio si calcolano le medie delle coordinate. La somma delle ascisse è $-2 + 4 = 2$ e la somma delle ordinate è $-3 + 5 = 2$ ; dividendo per $2$ si ottiene $M(1, 1)$ .

Esercizio 3

Il punto $M(2, 1)$ è il punto medio del segmento $AB$ , e $A$ ha coordinate $A(-1, 5)$ . Trova le coordinate di $B$ e la lunghezza di $AB$ .

\frac{-1 + x_B}{2} = 2 \quad \Longrightarrow \quad -1 + x_B = 4 \quad \Longrightarrow \quad x_B = 5

\frac{5 + y_B}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 5 + y_B = 2 \quad \Longrightarrow \quad y_B = -3

\begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{\big(5 - (-1)\big)^2 + (-3 - 5)^2} \\[6pt] &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} \\[6pt] &= \sqrt{100} = 10 \end{aligned}

L’ascissa del punto medio è la media delle ascisse di $A$ e di $B$ . Si conosce l’ascissa di $M$ , che è $2$ , quindi si scrive l’equazione $\dfrac{-1 + x_B}{2} = 2$ , dove l’incognita è $x_B$ . Moltiplicando i due membri per $2$ si ottiene $-1 + x_B = 4$ , e aggiungendo $1$ si trova $x_B = 5$ . Allo stesso modo l’equazione per l’ordinata, moltiplicata per $2$ , diventa $5 + y_B = 2$ , e sottraendo $5$ si trova $y_B = -3$ . Quindi il punto cercato è $B(5, -3)$ .

Per la lunghezza si usa la formula della distanza. Le differenze delle coordinate sono $5 - (-1) = 6$ e $-3 - 5 = -8$ , e i loro quadrati sono $36$ e $64$ , perché il quadrato di $-8$ è positivo. Perciò $\overline{AB} = \sqrt{100} = 10$ . Il risultato si controlla con $M$ , che dista $5$ da $A$ , cioè metà di $10$ , perché $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Esercizio 4

Calcola il perimetro del triangolo con vertici $A(1, 1)$ , $B(7, 1)$ , $C(4, 5)$ e stabilisci se il triangolo è isoscele.

\overline{AB} = 7 - 1 = 6

\overline{AC} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\overline{BC} = \sqrt{(4 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

2p = 6 + 5 + 5 = 16

Il triangolo

A B C

ha i lati

A C

B C

lunghi

5

; l'altezza tratteggiata da

C

cade nel punto medio

(4, 1)

della base

A B

I punti $A$ e $B$ hanno la stessa ordinata $1$ , quindi il lato $AB$ è orizzontale e misura $7 - 1 = 6$ . Gli altri due lati sono obliqui, perciò si usa la formula della distanza tra due punti. Per $AC$ le differenze sono $4 - 1 = 3$ e $5 - 1 = 4$ ; per $BC$ sono $4 - 7 = -3$ e $5 - 1 = 4$ . In entrambi i casi la somma dei quadrati è $9 + 16 = 25$ , e la radice quadrata di $25$ è $5$ .

Il perimetro è la somma dei tre lati, $6 + 5 + 5 = 16$ . I lati $AC$ e $BC$ hanno la stessa lunghezza, quindi il triangolo è isoscele, con base $AB$ .