Coordinate e quadranti

Theory used: Coordinate di un punto Punti sugli assi Quadranti Distanza tra punti con la stessa ordinata o la stessa ascissa

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Esercizio 1

Indica in quale quadrante, o su quale asse, si trova ciascuno dei punti

A(5, -2), \quad B(-1, -6), \quad C(0, 4), \quad D(-3, 0), \quad E(-2, 7) .

\begin{aligned} A(5, -2) &: \quad x > 0, \ y < 0 \quad \Longrightarrow \quad \text{IV quadrante} \\[6pt] B(-1, -6) &: \quad x < 0, \ y < 0 \quad \Longrightarrow \quad \text{III quadrante} \\[6pt] C(0, 4) &: \quad x = 0 \quad \Longrightarrow \quad \text{asse } y \\[6pt] D(-3, 0) &: \quad y = 0 \quad \Longrightarrow \quad \text{asse } x \\[6pt] E(-2, 7) &: \quad x < 0, \ y > 0 \quad \Longrightarrow \quad \text{II quadrante} \end{aligned}

Per ogni punto si guarda il segno delle due coordinate. Il punto $A$ ha ascissa positiva e ordinata negativa, quindi si trova a destra dell’asse $y$ e sotto l’asse $x$ , cioè nel IV quadrante. Il punto $B$ ha entrambe le coordinate negative, perciò sta nel III quadrante. Il punto $E$ ha ascissa negativa e ordinata positiva, quindi sta nel II quadrante.

Il punto $C$ ha ascissa $0$ , perciò si raggiunge da $O$ spostandosi solo in verticale e si trova sull’asse $y$ . Il punto $D$ ha ordinata $0$ , quindi si trova sull’asse $x$ . I punti che stanno sugli assi non appartengono a nessun quadrante.

Esercizio 2

Disegna il quadrilatero con vertici $A(-2, -1)$ , $B(4, -1)$ , $C(4, 3)$ , $D(-2, 3)$ . Spiega perché è un rettangolo e calcola il suo perimetro e la sua area, se l’unità di misura sugli assi è $1\,\text{cm}$ .

\overline{AB} = 4 - (-2) = 6\,\text{cm}, \qquad \overline{BC} = 3 - (-1) = 4\,\text{cm}

2p = 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}

A = 6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2

Il rettangolo di vertici

A (- 2, - 1)

B (4, - 1)

C (4, 3)

D (- 2, 3)

ha i lati paralleli agli assi, lunghi

6

4

I punti $A$ e $B$ hanno la stessa ordinata $-1$ , quindi il lato $AB$ è orizzontale; anche $D$ e $C$ hanno la stessa ordinata $3$ , perciò il lato $DC$ è orizzontale. I punti $B$ e $C$ hanno la stessa ascissa $4$ , quindi il lato $BC$ è verticale, e lo stesso vale per $AD$ , con ascissa $-2$ . Un lato orizzontale e uno verticale sono perpendicolari, perciò il quadrilatero ha quattro angoli retti ed è un rettangolo.

Il lato orizzontale $AB$ misura la differenza tra le ascisse, $4 - (-2) = 4 + 2 = 6$ . Il lato verticale $BC$ misura la differenza tra le ordinate, $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$ . Il perimetro è il doppio della somma di base e altezza, cioè $2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}$ , e l’area è il prodotto di base e altezza, cioè $6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2$ .

Esercizio 3

Il punto $P$ ha coordinate $P(2k - 6, 5)$ , dove $k$ è un numero. Trova il valore di $k$ per cui $P$ sta sull’asse $y$ e i valori di $k$ per cui $P$ sta nel II quadrante.

\text{asse } y: \quad 2k - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2k = 6 \quad \Longrightarrow \quad k = 3

\text{II quadrante}: \quad 2k - 6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad 2k < 6 \quad \Longrightarrow \quad k < 3

Un punto sta sull’asse $y$ quando la sua ascissa è $0$ . L’ascissa di $P$ è $2k - 6$ , quindi si risolve l’equazione $2k - 6 = 0$ . Aggiungendo $6$ ai due membri si ottiene $2k = 6$ , e dividendo per $2$ si trova $k = 3$ . Con questo valore il punto è $P(0, 5)$ , che sta sull’asse $y$ .

Un punto sta nel II quadrante quando ha ascissa negativa e ordinata positiva. L’ordinata di $P$ è $5$ , che è positiva per ogni valore di $k$ , quindi resta da imporre che l’ascissa sia negativa. Si risolve la disequazione $2k - 6 < 0$ , come nell’argomento sulle disequazioni di primo grado. Aggiungendo $6$ si ottiene $2k < 6$ , e dividendo per il numero positivo $2$ il verso non cambia, perciò $k < 3$ . Per esempio con $k = 1$ il punto è $P(-4, 5)$ , che sta nel II quadrante.