Angoli dei triangoli e dei quadrilateri

Theory used: Somma degli angoli interni di un triangolo Classificazione dei triangoli Lati e angoli dei triangoli isosceli e rettangoli Somma degli angoli di un quadrilatero Quadrilateri

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Esercizio 1

Un triangolo ha due angoli di $35^\circ$ e $85^\circ$ . Calcola il terzo angolo e classifica il triangolo rispetto agli angoli.

\begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - (35^\circ + 85^\circ) \\[6pt] &= 180^\circ - 120^\circ \\[6pt] &= 60^\circ \end{aligned}

In ogni triangolo la somma degli angoli interni è $180^\circ$ . Il terzo angolo si ottiene quindi sottraendo da $180^\circ$ la somma dei due angoli noti. La somma è $35 + 85 = 120$ , e $180 - 120 = 60$ , perciò il terzo angolo misura $60^\circ$ .

I tre angoli misurano $35^\circ$ , $85^\circ$ e $60^\circ$ , e sono tutti minori di $90^\circ$ . Il triangolo ha quindi tre angoli acuti, ed è perciò acutangolo.

Esercizio 2

In un triangolo rettangolo un angolo acuto misura $28^\circ$ . Calcola l’altro angolo acuto.

\text{altro angolo acuto} = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ

Il triangolo è rettangolo, quindi uno dei suoi angoli misura $90^\circ$ . Gli altri due angoli hanno somma $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , cioè sono complementari. L’angolo cercato è perciò il complementare di $28^\circ$ , che misura $90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ .

Lo stesso risultato si ottiene con la somma dei tre angoli. Infatti $90 + 28 = 118$ e $180 - 118 = 62$ . L’altro angolo acuto misura $62^\circ$ .

Esercizio 3

In un triangolo isoscele ciascun angolo alla base misura $35^\circ$ . Calcola l’angolo opposto alla base e classifica il triangolo rispetto agli angoli.

\begin{aligned} \text{angolo opposto alla base} &= 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ \\[6pt] &= 180^\circ - 70^\circ \\[6pt] &= 110^\circ \end{aligned}

Il triangolo è isoscele, quindi i due angoli alla base sono uguali e misurano entrambi $35^\circ$ . La loro somma è $2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$ . Poiché la somma dei tre angoli del triangolo è $180^\circ$ , l’angolo opposto alla base misura $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .

L’angolo di $110^\circ$ è maggiore di $90^\circ$ e minore di $180^\circ$ , quindi è ottuso. Il triangolo è perciò ottusangolo, oltre che isoscele.

Esercizio 4

Un trapezio rettangolo ha due angoli retti, e uno degli altri due angoli misura $65^\circ$ . Calcola il quarto angolo.

\begin{aligned} \delta &= 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 65^\circ) \\[6pt] &= 360^\circ - 245^\circ \\[6pt] &= 115^\circ \end{aligned}

Il trapezio è un quadrilatero, e la somma degli angoli interni di un quadrilatero è $360^\circ$ . I tre angoli noti sono i due angoli retti e l’angolo di $65^\circ$ , e la loro somma è $90 + 90 + 65 = 245$ . Il quarto angolo misura quindi $360^\circ - 245^\circ = 115^\circ$ .

Per controllo si sommano i quattro angoli. Si ottiene $90 + 90 + 65 + 115 = 360$ , che è la somma degli angoli di un quadrilatero.