Angoli complementari, supplementari e opposti al vertice

Theory used: Angolo e misura in gradi Angoli retti, piatti, acuti e ottusi Angoli complementari e supplementari Angoli opposti al vertice

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Esercizio 1

Calcola il complementare e il supplementare di un angolo di $27^\circ$ .

\text{complementare} = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ

\text{supplementare} = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ

Due angoli sono complementari se la loro somma è $90^\circ$ . Il complementare di $27^\circ$ è quindi l’angolo che manca a $27^\circ$ per arrivare a $90^\circ$ , cioè $90^\circ - 27^\circ$ . Poiché $90 - 20 = 70$ e $70 - 7 = 63$ , il complementare misura $63^\circ$ .

Due angoli sono supplementari se la loro somma è $180^\circ$ , perciò il supplementare di $27^\circ$ è $180^\circ - 27^\circ$ . Poiché $180 - 20 = 160$ e $160 - 7 = 153$ , il supplementare misura $153^\circ$ . Il supplementare supera il complementare di $90^\circ$ , e infatti $153 - 63 = 90$ .

Esercizio 2

Due angoli sono supplementari, e uno dei due è il triplo dell’altro. Calcola le loro misure.

\text{angolo minore} + \text{angolo maggiore} = 180^\circ

1 + 3 = 4 \ \text{parti uguali}

\text{una parte} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ

\text{angolo maggiore} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ

I due angoli sono supplementari, quindi la loro somma è $180^\circ$ . Se l’angolo minore vale una parte, l’angolo maggiore, che è il triplo, vale $3$ parti uguali alla prima. Insieme i due angoli formano perciò $1 + 3 = 4$ parti uguali, e queste $4$ parti misurano $180^\circ$ .

Ogni parte misura quindi $\dfrac{180^\circ}{4} = 45^\circ$ , perché $4 \cdot 45 = 180$ . L’angolo minore è una parte, cioè $45^\circ$ , e l’angolo maggiore è $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$ . I due angoli misurano $45^\circ$ e $135^\circ$ , e la loro somma è $45 + 135 = 180$ , come richiesto.

Esercizio 3

Due rette si incontrano in un punto e formano quattro angoli. Uno di essi misura $72^\circ$ . Calcola le misure degli altri tre angoli.

\text{angolo vicino} = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ

\text{angolo opposto a } 72^\circ = 72^\circ

\text{angolo opposto a } 108^\circ = 108^\circ

L’angolo di $72^\circ$ e ciascuno dei due angoli vicini hanno un lato in comune, e gli altri due lati formano una retta. Insieme formano quindi un angolo piatto, e perciò ciascun angolo vicino misura $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .

Il quarto angolo è opposto al vertice dell’angolo di $72^\circ$ . Per la proprietà degli angoli opposti al vertice i due angoli sono uguali, quindi anche il quarto angolo misura $72^\circ$ . Gli altri tre angoli misurano perciò $108^\circ$ , $72^\circ$ e $108^\circ$ . La somma dei quattro angoli è $72 + 108 + 72 + 108 = 360$ , cioè un angolo giro.

Esercizio 4

Due rette incidenti formano quattro angoli. La somma di due angoli opposti al vertice è $140^\circ$ . Calcola le misure dei quattro angoli e indica quali sono acuti e quali ottusi.

\text{ciascun angolo opposto} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ

\text{ciascuno degli altri due} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

Due angoli opposti al vertice sono uguali, quindi la somma di $140^\circ$ è formata da due angoli con la stessa misura. Ciascuno dei due misura perciò la metà di $140^\circ$ , cioè $70^\circ$ .

Gli altri due angoli sono vicini a un angolo di $70^\circ$ e formano con esso un angolo piatto, perciò ciascuno misura $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ . I quattro angoli misurano quindi $70^\circ$ , $110^\circ$ , $70^\circ$ e $110^\circ$ . Gli angoli di $70^\circ$ sono acuti, perché misurano meno di $90^\circ$ , e gli angoli di $110^\circ$ sono ottusi, perché misurano più di $90^\circ$ e meno di $180^\circ$ .