Frazioni generatrici di numeri decimali

Theory used: Frazione di un decimale limitato Frazione generatrice di un decimale periodico Periodici semplici e misti

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Esercizio 1

Scrivi come frazione ridotta ai minimi termini i numeri $0{,}48$ e $3{,}125$ .

0{,}48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}

3{,}125 = \frac{3125}{1000} = \frac{125}{40} = \frac{25}{8}

Il numero $0{,}48$ ha due cifre decimali, quindi vale $48$ centesimi, cioè $\dfrac{48}{100}$ . Numeratore e denominatore sono entrambi divisibili per $4$ , perché $48 = 4 \cdot 12$ e $100 = 4 \cdot 25$ . Dividendo per $4$ si ottiene $\dfrac{12}{25}$ , che è ridotta ai minimi termini, perché $12 = 2^2 \cdot 3$ e $25 = 5^2$ non hanno fattori primi in comune.

Il numero $3{,}125$ ha tre cifre decimali, quindi è $\dfrac{3125}{1000}$ . Dividendo prima per $25$ si ottengono $\dfrac{3125}{25} = 125$ e $\dfrac{1000}{25} = 40$ . Dividendo poi per $5$ si ottengono $\dfrac{125}{5} = 25$ e $\dfrac{40}{5} = 8$ . La frazione ridotta ai minimi termini è $\dfrac{25}{8}$ , perché $25 = 5^2$ e $8 = 2^3$ non hanno fattori comuni.

Esercizio 2

Determina la frazione generatrice dei numeri $0{,}\overline{36}$ e $2{,}\overline{7}$ .

0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

2{,}\overline{7} = \frac{27 - 2}{9} = \frac{25}{9}

Il numero $0{,}\overline{36}$ è un periodico semplice con periodo di due cifre. Per la regola della frazione generatrice il numeratore è il numero senza virgola fino alla fine del primo periodo, cioè $036 = 36$ , meno le cifre prima del periodo, cioè $0$ . Il denominatore è formato da due $9$ , uno per ogni cifra del periodo, e non ha zeri, perché manca l’antiperiodo. Si ottiene $\dfrac{36}{99}$ , che si semplifica dividendo per $9$ e diventa $\dfrac{4}{11}$ .

Il numero $2{,}\overline{7}$ ha parte intera $2$ e periodo $7$ . Il numero senza virgola fino alla fine del primo periodo è $27$ , e le cifre prima del periodo formano il numero $2$ , quindi il numeratore è $27 - 2 = 25$ . Il periodo ha una cifra, perciò il denominatore è $9$ . La frazione generatrice è $\dfrac{25}{9}$ , già ridotta ai minimi termini.

Esercizio 3

Determina la frazione generatrice dei numeri $0{,}1\overline{6}$ e $1{,}2\overline{45}$ .

0{,}1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

1{,}2\overline{45} = \frac{1245 - 12}{990} = \frac{1233}{990} = \frac{137}{110}

Il numero $0{,}1\overline{6}$ è un periodico misto, con antiperiodo $1$ e periodo $6$ . Il numero senza virgola fino alla fine del primo periodo è $016 = 16$ , e le cifre prima del periodo formano il numero $01 = 1$ , quindi il numeratore è $16 - 1 = 15$ . Il periodo ha una cifra e l’antiperiodo ne ha una, perciò il denominatore è un $9$ seguito da uno $0$ , cioè $90$ . La frazione $\dfrac{15}{90}$ si semplifica dividendo per $15$ e diventa $\dfrac{1}{6}$ .

Nel numero $1{,}2\overline{45}$ la parte intera è $1$ , l’antiperiodo è $2$ e il periodo è $45$ . Il numero senza virgola fino alla fine del primo periodo è $1245$ , e le cifre prima del periodo formano $12$ , quindi il numeratore è $1245 - 12 = 1233$ . Il periodo ha due cifre e l’antiperiodo una, perciò il denominatore è $990$ . Numeratore e denominatore sono divisibili per $9$ , perché la somma delle cifre è $9$ per $1233$ e $18$ per $990$ , entrambi multipli di $9$ . Poiché $1233 : 9 = 137$ e $990 : 9 = 110$ , si ottiene $\dfrac{137}{110}$ . Questa frazione è ridotta ai minimi termini, perché $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ e $137$ non è divisibile né per $2$ , né per $5$ , né per $11$ .

Esercizio 4

Calcola il valore dell’espressione

0{,}\overline{3} + 1{,}\overline{6} \cdot 0{,}6 .

0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \qquad 1{,}\overline{6} = \frac{16 - 1}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \qquad 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

\begin{aligned} \frac{1}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{1}{3} + \frac{15}{15} \\[6pt] &= \frac{1}{3} + 1 \\[6pt] &= \frac{4}{3} \end{aligned}

I numeri periodici hanno infinite cifre decimali e non si possono incolonnare, quindi si trasformano prima nelle loro frazioni generatrici. Il numero $0{,}\overline{3}$ ha periodo $3$ e diventa $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ . Il numero $1{,}\overline{6}$ ha numeratore $16 - 1 = 15$ e denominatore $9$ , quindi è $\dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$ . Anche il decimale limitato $0{,}6$ si scrive come frazione, $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .

Per l’ordine delle operazioni si esegue prima la moltiplicazione. Il prodotto $\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{3}{5}$ ha numeratore $15$ e denominatore $15$ , quindi vale $1$ . Infine $\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{3}$ . Il valore dell’espressione è $\dfrac{4}{3}$ , cioè $1{,}\overline{3}$ .