Trasformazioni di frazioni in numeri decimali

Theory used: Numero decimale di una frazione Periodici semplici e misti Quando un decimale è limitato

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Esercizio 1

Trasforma in numero decimale la frazione $\dfrac{3}{8}$ .

\begin{aligned} 30 : 8 &= 3 \quad \text{con resto } 6 \\[6pt] 60 : 8 &= 7 \quad \text{con resto } 4 \\[6pt] 40 : 8 &= 5 \quad \text{con resto } 0 \end{aligned}

\frac{3}{8} = 0{,}375

La frazione $\dfrac{3}{8}$ è il quoziente $3 : 8$ . Il numero $3$ è minore di $8$ , quindi la parte intera è $0$ . Si prosegue con i decimi, e $3$ unità sono $30$ decimi.

Poiché $8 \cdot 3 = 24$ , la divisione $30 : 8$ dà $3$ decimi con resto $30 - 24 = 6$ . I $6$ decimi di resto sono $60$ centesimi, e $60 : 8$ dà $7$ centesimi con resto $60 - 56 = 4$ . I $4$ centesimi di resto sono $40$ millesimi, e $40 : 8 = 5$ con resto $0$ .

Il resto è $0$ , perciò la divisione finisce e $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ è un decimale limitato. Lo stesso si deduce dalla regola sui denominatori, perché $8 = 2^3$ ha come unico fattore primo $2$ .

Esercizio 2

Stabilisci, senza eseguire la divisione, se le frazioni $\dfrac{9}{15}$ e $\dfrac{7}{12}$ danno un decimale limitato o periodico. Poi esegui la divisione per controllare.

\frac{9}{15} = \frac{3}{5} \qquad\qquad 12 = 2^2 \cdot 3

\frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad\qquad \frac{7}{12} = 0{,}58333\ldots = 0{,}58\overline{3}

La regola che distingue i decimali limitati dai periodici si applica alla frazione ridotta ai minimi termini. La frazione $\dfrac{9}{15}$ si semplifica dividendo numeratore e denominatore per $3$ , e diventa $\dfrac{3}{5}$ . Il denominatore $5$ ha come unico fattore primo $5$ , quindi il decimale è limitato. Infatti $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ , perché $30$ decimi divisi per $5$ danno $6$ decimi.

La frazione $\dfrac{7}{12}$ è già ridotta ai minimi termini, perché $7$ è primo e non divide $12$ . Il denominatore $12 = 2^2 \cdot 3$ contiene il fattore $3$ , quindi il decimale è periodico.

Nella divisione $7 : 12$ si ottiene $70 : 12 = 5$ con resto $10$ , poi $100 : 12 = 8$ con resto $4$ , poi $40 : 12 = 3$ con resto $4$ . Il resto $4$ si ripete, perciò da qui in poi si ottiene sempre la cifra $3$ . Il numero è $0{,}58\overline{3}$ , un periodico misto con antiperiodo $58$ e periodo $3$ .

Esercizio 3

Trasforma in numero decimale la frazione $\dfrac{5}{11}$ e indica il periodo.

\begin{aligned} 50 : 11 &= 4 \quad \text{con resto } 6 \\[6pt] 60 : 11 &= 5 \quad \text{con resto } 5 \\[6pt] 50 : 11 &= 4 \quad \text{con resto } 6 \end{aligned}

\frac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}\overline{45}

Il numeratore $5$ è minore di $11$ , quindi la parte intera è $0$ e si comincia dividendo $50$ decimi per $11$ . Poiché $11 \cdot 4 = 44$ , si ottiene la cifra $4$ con resto $6$ . Poi $60 : 11$ dà la cifra $5$ con resto $5$ , perché $11 \cdot 5 = 55$ .

Il resto $5$ è uguale al numeratore di partenza, quindi la divisione riprende da $50 : 11$ e le cifre $4$ e $5$ si ripetono senza fine. Perciò $\dfrac{5}{11}$ è un decimale periodico semplice con periodo $45$ , e si scrive $0{,}\overline{45}$ . Il periodo comincia subito dopo la virgola, quindi non c’è antiperiodo.

Esercizio 4

Trasforma in numero decimale la frazione $\dfrac{13}{6}$ e indica parte intera, antiperiodo e periodo.

13 : 6 = 2 \quad \text{con resto } 1

\begin{aligned} 10 : 6 &= 1 \quad \text{con resto } 4 \\[6pt] 40 : 6 &= 6 \quad \text{con resto } 4 \end{aligned}

\frac{13}{6} = 2{,}1666\ldots = 2{,}1\overline{6}

Il numeratore è maggiore del denominatore, quindi la frazione è maggiore di $1$ . Poiché $6 \cdot 2 = 12$ , la divisione $13 : 6$ dà parte intera $2$ con resto $1$ .

Il resto $1$ corrisponde a $10$ decimi, e $10 : 6$ dà la cifra $1$ con resto $4$ . Poi $40$ centesimi divisi per $6$ danno la cifra $6$ con resto $4$ , perché $6 \cdot 6 = 36$ . Il resto $4$ si ripete, quindi da qui in poi la cifra è sempre $6$ .

Il numero $2{,}1\overline{6}$ è un periodico misto, con parte intera $2$ , antiperiodo $1$ e periodo $6$ . Il denominatore $6 = 2 \cdot 3$ contiene il fattore $3$ , e questo è coerente con il fatto che il decimale è periodico.