Esercizi svolti · Scheda 5

Equazioni e disequazioni con due valori assoluti

Teoria usata: Studio dei segni per zone Proprietà del valore assoluto

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 5.

Gli argomenti si annullano in $x = 1$ e in $x = - 2$ , quindi le zone sono tre.

Prima zona.

{x < - 2 (1 - x) + (- x - 2) = 5 {x < - 2 - 2 x - 1 = 5 {x < - 2 x = - 3

La soluzione $x = - 3$ è accettabile.

Seconda zona.

{- 2 \leq x < 1 (1 - x) + (x + 2) = 5 {- 2 \leq x < 1 3 = 5

L’equazione $3 = 5$ è falsa, quindi la zona non dà soluzioni.

Terza zona.

{x \geq 1 (x - 1) + (x + 2) = 5 {x \geq 1 2 x + 1 = 5 {x \geq 1 x = 2

La soluzione $x = 2$ è accettabile.

Le soluzioni sono $x = - 3$ e $x = 2$ .

Gli argomenti $x - 1$ e $x + 2$ si annullano in punti diversi, quindi i loro segni vanno studiati insieme e la retta si divide in tre zone. Nella prima zona entrambi gli argomenti sono negativi, perciò ogni modulo si sostituisce con l’opposto del proprio argomento; nella seconda $x + 2$ è non negativo e $x - 1$ è negativo; nella terza entrambi sono non negativi. In ogni zona l’equazione riscritta si risolve insieme alla condizione di zona, e il valore trovato si accetta solo se la soddisfa. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = - 3$ si ha $∣ - 4∣ + ∣ - 1∣ = 4 + 1 = 5$ , e per $x = 2$ si ha $∣1∣ + ∣4∣ = 1 + 4 = 5$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

∣ x ∣ + ∣ x - 3∣ \leq 4.

Gli argomenti si annullano in $x = 0$ e in $x = 3$ , quindi le zone sono tre.

Prima zona.

{x < 0 - x + (3 - x) \leq 4 {x < 0 - 2 x \leq 1 ⎩ ⎨ ⎧ x < 0 x \geq - \frac{1}{2}

La zona contribuisce con $- \frac{1}{2} \leq x < 0$ .

Seconda zona.

{0 \leq x < 3 x + (3 - x) \leq 4 {0 \leq x < 3 3 \leq 4

La disuguaglianza $3 \leq 4$ è vera per ogni $x$ , quindi la zona contribuisce per intero con $0 \leq x < 3$ .

Terza zona.

{x \geq 3 x + (x - 3) \leq 4 {x \geq 3 2 x \leq 7 ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 3 x \leq \frac{7}{2}

La zona contribuisce con $3 \leq x \leq \frac{7}{2}$ .

L’unione dei tre contributi è la soluzione $- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{7}{2}$ .

Il procedimento per zone vale per le disequazioni come per le equazioni: in ogni zona si riscrive il primo membro senza moduli e si risolve il sistema con la condizione di zona. Nella prima zona la divisione per $- 2$ rovescia il verso della disuguaglianza. Nella zona centrale il primo membro vale costantemente $3$ , che è minore di $4$ , perciò tutta la zona appartiene alla soluzione. I tre contributi sono intervalli consecutivi e la loro unione è un unico intervallo chiuso. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = \frac{7}{2}$ si ha $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4 \leq 4$ , mentre per $x = - 1$ si ha $1 + 4 = 5 > 4$ , e infatti $- 1$ non appartiene alla soluzione.

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

∣2 x - 1∣ > ∣ x + 1∣.

Entrambi i membri sono non negativi, quindi il confronto equivale al confronto tra i quadrati:

(2 x - 1)^{2} > (x + 1)^{2}

4 x^{2} - 4 x + 1 > x^{2} + 2 x + 1

3 x^{2} - 6 x > 0

3 x (x - 2) > 0

x < 0 \lor x > 2

La soluzione è $x < 0 \lor x > 2$ .

Quando i due membri sono entrambi valori assoluti, lo studio per zone resta possibile, ma la proprietà $∣ a ∣^{2} = a^{2}$ offre una via più corta: due numeri non negativi stanno nello stesso ordine dei loro quadrati, quindi la disequazione equivale a $(2 x - 1)^{2} > (x + 1)^{2}$ . Sviluppando i quadrati e portando tutto a sinistra si ottiene la disequazione di secondo grado $3 x^{2} - 6 x > 0$ , che si scompone in $3 x (x - 2) > 0$ ; il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno, cioè fuori dall’intervallo delle radici $0$ e $2$ . Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = 3$ si ha $∣5∣ = 5 > 4 = ∣4∣$ , mentre per $x = 1$ si ha $∣1∣ = 1 < 2 = ∣2∣$ , e infatti $1$ non appartiene alla soluzione.