Disequazioni della forma |A| > k e con espressione al secondo membro

La disequazione chiede che l’espressione $3x-1$ disti dall’origine più di $5$, quindi l’espressione è minore di $-5$ oppure maggiore di $5$: due condizioni alternative, non un sistema. Ciascuna disuguaglianza di primo grado si risolve dividendo per $3$, che è positivo, perciò il verso non cambia. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x=3$ si ha $|8|=8>5$, mentre per $x=0$ si ha $|-1|=1<5$, e infatti $0$ non appartiene alla soluzione.

Con un’espressione al secondo membro il sistema risolutivo è lo stesso del caso con la costante: l’argomento del modulo deve stare tra $-(3x-2)$ e $3x-2$. Nella prima condizione si dividono entrambi i membri per $-2$, quindi il verso della disuguaglianza si rovescia e si ottiene $x>2$; la seconda condizione dà $x>0$. Le due condizioni valgono insieme per $x>2$, che è la più restrittiva. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x=3$ si ha $|5|=5<7$, mentre per $x=2$ si ha $|4|=4$, non minore di $4$, quindi l’estremo è escluso.

La forma $|A|>B$ si risolve con l’unione delle due condizioni $A>B$ e $A<-B$ anche quando $B$ contiene la variabile, perché nei punti in cui $2x$ è negativo una delle due condizioni risulta comunque vera. La prima condizione dà $x<-3$ e la seconda dà $x<1$; la semiretta $x<-3$ è contenuta nella semiretta $x<1$, quindi l’unione coincide con $x<1$. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x=0$ si ha $|-3|=3>0$; per $x=1$ si ha $|-2|=2$, non maggiore di $2$; per $x=2$ si ha $|-1|=1<4$, e infatti $2$ non appartiene alla soluzione.