Disequazioni della forma |A| < k e |A| ≤ k

Il secondo membro è la costante positiva $2$, quindi la disequazione equivale alla doppia disuguaglianza $-2<x-3<2$, scritta come sistema delle due condizioni. Sommando $3$ a tutti i membri si ottiene l’intervallo $1<x<5$. La lettura geometrica conferma il risultato, poiché $|x-3|<2$ chiede i punti a distanza minore di $2$ da $3$, e questi formano l’intervallo aperto di estremi $1$ e $5$.

La disuguaglianza è larga, quindi anche le due condizioni del sistema sono larghe e gli estremi dell’intervallo appartengono alla soluzione. In ciascuna condizione si porta il $5$ a destra e si divide per $2$, che è positivo, perciò il verso delle disuguaglianze non cambia. Il controllo agli estremi conferma il risultato: per $x=-4$ si ha $|-3|=3\le 3$, e per $x=-1$ si ha $|3|=3\le 3$; per un punto esterno come $x=0$ si ha invece $|5|=5>3$.

L’argomento del modulo è di secondo grado, ma la regola è la stessa: la disequazione equivale al sistema delle due condizioni $x^2-3\le 1$ e $x^2-3\ge -1$. La condizione $x^2\le 4$ è soddisfatta nell’intervallo $-2\le x\le 2$, mentre la condizione $x^2\ge 2$ è soddisfatta fuori dall’intervallo aperto di estremi $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$. Le due condizioni devono valere insieme, quindi si interseca l’intervallo con l’unione di semirette e restano i due intervalli simmetrici indicati. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x=\frac{3}{2}$ si ha $x^2=\frac{9}{4}$ e $\left|\frac{9}{4}-3\right|=\frac{3}{4}\le 1$, mentre per $x=0$ si ha $|-3|=3>1$.