Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni della forma |A| = k e |A| = |B|

Teoria usata: Equazione della forma |A| = k Equazione della forma |A| = |B|

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

∣2 x - 3∣ = 5.

Poiché $5 > 0$ , l’equazione equivale all’unione

2 x - 3 = 5 \lor 2 x - 3 = - 5.

2 x = 8 \lor 2 x = - 2

x = 4 \lor x = - 1

Le soluzioni sono $x = - 1$ e $x = 4$ .

Il secondo membro è la costante $5$ , positiva, quindi si applica la regola per $∣ A ∣ = k$ con $k > 0$ : l’espressione $2 x - 3$ vale $5$ oppure $- 5$ . Ciascuna delle due equazioni è di primo grado e si risolve portando il termine noto a destra e dividendo per $2$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = 4$ si ha $∣8 - 3∣ = 5$ , e per $x = - 1$ si ha $∣ - 2 - 3∣ = 5$ .

Esercizio 2

Risolvere le equazioni

∣4 x - 1∣ = 0 e ∣3 x + 2∣ = - 5.

Prima equazione: il solo numero con valore assoluto nullo è $0$ , quindi

4 x - 1 = 0

x = \frac{1}{4}

Seconda equazione: per ogni $x \in R$ vale

∣3 x + 2∣ \geq 0 > - 5,

quindi l’equazione non ha soluzioni.

La prima equazione ha soluzione $x = \frac{1}{4}$ ; la seconda non ha soluzioni.

Nella prima equazione il secondo membro è $0$ , quindi il modulo si annulla soltanto dove si annulla il suo argomento, e l’equazione diventa $4 x - 1 = 0$ . Nella seconda il secondo membro è negativo, mentre il primo membro è un valore assoluto e perciò non è mai minore di $0$ ; dato che nessun valore di $x$ rende uguali i due membri, l’insieme delle soluzioni è vuoto.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

∣ x - 1∣ = ∣2 x + 3∣.

Due numeri hanno lo stesso valore assoluto quando sono uguali oppure opposti, quindi

x - 1 = 2 x + 3 \lor x - 1 = - (2 x + 3) .

- x = 4 \lor 3 x = - 2

x = - 4 \lor x = - \frac{2}{3}

Le soluzioni sono $x = - 4$ e $x = - \frac{2}{3}$ .

Entrambi i membri sono valori assoluti, quindi nessuno dei due può essere negativo e non serve alcuna condizione di accettabilità: l’equazione equivale all’unione dei due casi, argomenti uguali oppure argomenti opposti. Nel secondo caso il segno meno va distribuito su tutto il secondo argomento, perciò $x - 1 = - 2 x - 3$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = - 4$ entrambi i membri valgono $∣ - 5∣ = 5$ , e per $x = - \frac{2}{3}$ entrambi valgono $\frac{5}{3}$ .