Esercizi svolti · Scheda 2

Parabole con vertice, intersezioni e grafico

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Esercizio 1

Studiare la parabola

y = x^{2} - 4 x + 3

e disegnarne il grafico.

Concavità. $a = 1 > 0$ , quindi la concavità è rivolta verso l’alto.

Vertice e asse.

x_{V} = - \frac{b}{2 a} = \frac{4}{2} = 2, y_{V} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1,

quindi $V (2, - 1)$ e l’asse di simmetria è $x = 2$ .

Intersezioni con gli assi. Con l’asse $x$ :

x^{2} - 4 x + 3 = 0, x = \frac{4 \pm 16 - 12}{2} = \frac{4 \pm 2}{2},

quindi i punti $(1, 0)$ e $(3, 0)$ . Con l’asse $y$ : il punto $(0, 3)$ .

y = x² − 4x + 3 con il vertice V(2, −1)

Risultato: vertice $V (2, - 1)$ , asse $x = 2$ , intersezioni $(1, 0)$ , $(3, 0)$ e $(0, 3)$ .

Il segno del coefficiente di $x^{2}$ si legge per primo, perché decide la forma del grafico: qui $a$ è positivo, quindi il vertice è il punto più basso. L’ascissa del vertice viene dalla formula $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , e l’ordinata si ottiene sostituendo $x_{V}$ nell’equazione della parabola, senza bisogno di altre formule. Le intersezioni con l’asse $x$ sono le soluzioni dell’equazione associata, qui due perché il discriminante è positivo; l’intersezione con l’asse $y$ si legge dal termine noto. Con vertice, concavità e tre punti la parabola è determinata e si disegna.

Esercizio 2

Studiare la parabola

y = - 2 x^{2} + 4 x + 6

e disegnarne il grafico.

Concavità. $a = - 2 < 0$ , quindi la concavità è rivolta verso il basso.

Vertice e asse.

x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{- 4} = 1, y_{V} = - 2 + 4 + 6 = 8,

quindi $V (1, 8)$ e l’asse di simmetria è $x = 1$ .

Intersezioni con gli assi. Con l’asse $x$ , dividendo per $- 2$ :

x^{2} - 2 x - 3 = 0, x = \frac{2 \pm 4 + 12}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},

quindi i punti $(- 1, 0)$ e $(3, 0)$ . Con l’asse $y$ : il punto $(0, 6)$ .

y = −2x² + 4x + 6 con il vertice V(1, 8)

Risultato: vertice $V (1, 8)$ , asse $x = 1$ , intersezioni $(- 1, 0)$ , $(3, 0)$ e $(0, 6)$ .

Il coefficiente $a = - 2$ è negativo, quindi la parabola volge la concavità verso il basso e il vertice è il punto più alto. Per le intersezioni con l’asse $x$ conviene dividere l’equazione $- 2 x^{2} + 4 x + 6 = 0$ per $- 2$ , poiché le soluzioni non cambiano e i conti si fanno con coefficienti più piccoli. Il vertice ha ascissa equidistante dalle due radici, e infatti $1$ è la media tra $- 1$ e $3$ ; questa osservazione dà anche un controllo del calcolo di $x_{V}$ .

Esercizio 3

Studiare la parabola

y = x^{2} + 2 x + 3

e disegnarne il grafico.

Concavità. $a = 1 > 0$ , quindi la concavità è rivolta verso l’alto.

Vertice e asse.

x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - 1, y_{V} = 1 - 2 + 3 = 2,

quindi $V (- 1, 2)$ e l’asse di simmetria è $x = - 1$ .

Intersezioni con gli assi. Con l’asse $x$ : il discriminante è

Δ = 4 - 12 = - 8 < 0,

quindi la parabola non interseca l’asse $x$ . Con l’asse $y$ : il punto $(0, 3)$ , e per simmetria rispetto all’asse anche il punto $(- 2, 3)$ appartiene al grafico.

y = x² + 2x + 3 con il vertice V(−1, 2)

Risultato: vertice $V (- 1, 2)$ , asse $x = - 1$ , nessuna intersezione con l’asse $x$ , intersezione $(0, 3)$ con l’asse $y$ .

Il discriminante negativo dice che l’equazione $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ non ha soluzioni reali, quindi la parabola non tocca l’asse $x$ ; poiché la concavità è verso l’alto e il vertice ha ordinata $2 > 0$ , tutto il grafico sta sopra l’asse. Per disegnare servono comunque punti oltre al vertice: l’intersezione con l’asse $y$ è $(0, 3)$ , e il suo simmetrico rispetto alla retta $x = - 1$ è $(- 2, 3)$ , perché i due punti hanno la stessa distanza dall’asse di simmetria.