Esercizi svolti · Scheda 4

Ellissi e iperboli in forma canonica

Teoria usata: Ellisse in forma canonica Iperbole in forma canonica

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Determinare semiassi, vertici e fuochi dell’ellisse

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

e descriverne il grafico.

I semiassi sono

a = 25 = 5, b = 9 = 3,

quindi i vertici sono $(\pm 5, 0)$ e $(0, \pm 3)$ . Poiché $a > b$ , i fuochi stanno sull’asse $x$ :

c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16, c = 4,

quindi i fuochi sono $(\pm 4, 0)$ .

Risultato: semiassi $5$ e $3$ , vertici $(\pm 5, 0)$ e $(0, \pm 3)$ , fuochi $(\pm 4, 0)$ . Il grafico è un’ovale con centro nell’origine, simmetrico rispetto a entrambi gli assi, inscritto nel rettangolo $- 5 \leq x \leq 5$ , $- 3 \leq y \leq 3$ e passante per i quattro vertici.

L’equazione è già in forma canonica, quindi i quadrati dei semiassi si leggono ai denominatori: $a^{2}$ sotto $x^{2}$ e $b^{2}$ sotto $y^{2}$ . Il semiasse maggiore è quello lungo $x$ , perché $25 > 9$ , perciò i fuochi stanno sull’asse $x$ e la loro distanza dal centro si calcola con $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , la relazione valida per l’ellisse. Per il disegno si segnano i quattro vertici e si raccorda con una curva chiusa simmetrica: tutto il grafico resta dentro il rettangolo individuato dai semiassi.

Esercizio 2

Determinare semiassi, vertici e fuochi dell’ellisse

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{16} = 1.

I semiassi sono $a = 2$ lungo $x$ e $b = 4$ lungo $y$ , quindi i vertici sono $(\pm 2, 0)$ e $(0, \pm 4)$ . Poiché $b > a$ , i fuochi stanno sull’asse $y$ :

c^{2} = b^{2} - a^{2} = 16 - 4 = 12, c = 12 = 23,

quindi i fuochi sono $(0, \pm 23)$ .

Risultato: semiassi $2$ e $4$ , vertici $(\pm 2, 0)$ e $(0, \pm 4)$ , fuochi $(0, \pm 23)$ .

Qui il denominatore maggiore sta sotto $y^{2}$ , quindi il semiasse maggiore è verticale e l’ellisse è allungata lungo l’asse $y$ . I fuochi stanno sempre sull’asse del semiasse maggiore, perciò sull’asse $y$ , e nella relazione $c^{2} = b^{2} - a^{2}$ si sottrae il quadrato del semiasse minore da quello del semiasse maggiore: la differenza è positiva, come deve essere per una distanza. La radice $12$ si semplifica in $23$ raccogliendo il quadrato $4$ .

Esercizio 3

Determinare vertici, fuochi e asintoti dell’iperbole

\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1

e descriverne il grafico.

Qui $a = 3$ e $b = 4$ . I vertici sono $(\pm 3, 0)$ e i fuochi stanno sull’asse $x$ :

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25, c = 5,

quindi i fuochi sono $(\pm 5, 0)$ . Gli asintoti sono

y = \frac{4}{3} x, y = - \frac{4}{3} x .

Risultato: vertici $(\pm 3, 0)$ , fuochi $(\pm 5, 0)$ , asintoti $y = \pm \frac{4}{3} x$ . Il grafico ha due rami: uno a destra del vertice $(3, 0)$ e uno a sinistra di $(- 3, 0)$ ; ciascun ramo parte dal vertice e si avvicina indefinitamente ai due asintoti, restando fuori dalla striscia $- 3 < x < 3$ .

Il segno meno davanti al termine in $y^{2}$ distingue l’iperbole dall’ellisse, e il segno più davanti al termine in $x^{2}$ colloca i vertici e i fuochi sull’asse $x$ . Per l’iperbole la relazione tra i parametri è $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , con la somma al posto della differenza, quindi i fuochi sono più lontani dei vertici. Per il disegno si traccia il rettangolo di lati $x = \pm 3$ e $y = \pm 4$ : le sue diagonali prolungate sono gli asintoti, e i rami partono dai vertici schiacciandosi su di esse. Un controllo sul coefficiente degli asintoti: il rapporto $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ coincide con la pendenza delle diagonali del rettangolo.