Esercizi svolti · Scheda 3

Circonferenze e completamento dei quadrati

Teoria usata: Circonferenza Completamento del quadrato Distanza tra due punti e punto medio

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro $C (2, - 1)$ e raggio $r = 3$ , in forma canonica e in forma generale.

La forma canonica è

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9.

Sviluppando i quadrati:

x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 2 y + 1 x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 9 = 0.

Risultato: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ , cioè $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ .

La forma canonica si scrive direttamente dai dati: al posto di $x_{0}$ e $y_{0}$ si mettono le coordinate del centro e a destra il quadrato del raggio. Il segno dentro il secondo quadrato è più, perché l’ordinata del centro è $- 1$ e $y - (- 1) = y + 1$ . La forma generale si ottiene sviluppando i quadrati con i prodotti notevoli e portando tutto a sinistra. Un controllo sui coefficienti: nella forma generale il coefficiente di $x$ è $- 2 x_{0} = - 4$ e quello di $y$ è $- 2 y_{0} = 2$ , in accordo con il centro dato.

Esercizio 2

Determinare centro e raggio della circonferenza di equazione

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0.

Si completano i quadrati nei termini in $x$ e nei termini in $y$ :

x^{2} - 6 x y^{2} + 4 y = (x - 3)^{2} - 9, = (y + 2)^{2} - 4,

quindi l’equazione diventa

(x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 - 3 = 0, (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16.

Risultato: centro $C (3, - 2)$ e raggio $r = 4$ .

L’equazione è in forma generale, con $x^{2}$ e $y^{2}$ di coefficiente $1$ e senza termine $x y$ , quindi può rappresentare una circonferenza. Il completamento del quadrato raggruppa i termini in $x$ e quelli in $y$ : a $x^{2} - 6 x$ si aggiunge e si toglie il quadrato della metà di $6$ , e allo stesso modo per $y^{2} + 4 y$ con la metà di $4$ . Portando le costanti a destra si ottiene la forma canonica, dalla quale centro e raggio si leggono: il centro è il punto che annulla i due quadrati e il raggio è la radice del termine noto, $r = 16 = 4$ , positivo come richiesto.

Esercizio 3

Determinare centro e raggio della circonferenza di equazione

2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x + 8 y - 8 = 0.

I coefficienti di $x^{2}$ e $y^{2}$ sono uguali a $2$ , quindi si divide l’equazione per $2$ :

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0.

Completando i quadrati:

(x - 1)^{2} - 1 + (y + 2)^{2} - 4 - 4 (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0 = 9.

Risultato: centro $C (1, - 2)$ e raggio $r = 3$ .

La forma generale della circonferenza ha i quadrati con coefficiente $1$ , quindi la prima operazione divide tutta l’equazione per $2$ ; la divisione è lecita perché non cambia l’insieme delle soluzioni. Da lì il procedimento è lo stesso dell’esercizio precedente: si completa il quadrato in $x$ con la metà di $2$ e quello in $y$ con la metà di $4$ , poi si raccolgono le costanti a destra. Una verifica per sostituzione: il punto $(4, - 2)$ , che dista $3$ dal centro lungo l’asse $x$ , soddisfa l’equazione di partenza, poiché $2 \cdot 16 + 2 \cdot 4 - 16 - 16 - 8 = 32 + 8 - 40 = 0$ .