Esercizi svolti · Scheda 1

Rette per due punti, parallele e perpendicolari

Teoria usata: Coefficiente angolare, rette per un punto, parallelismo e perpendicolarità Equazione della retta Distanza di un punto da una retta

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta passante per $A (- 1, 3)$ e $B (2, - 3)$ .

Il coefficiente angolare è

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{- 3 - 3}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} = - 2.

La retta per $A$ con coefficiente angolare $- 2$ è

y - 3 = - 2 (x + 1), y = - 2 x + 1.

Risultato: $y = - 2 x + 1$ .

Le ascisse dei due punti sono diverse, quindi la retta non è verticale e ha un coefficiente angolare, che si calcola come rapporto tra la variazione di $y$ e la variazione di $x$ nel passaggio da $A$ a $B$ . Trovato $m$ , si impone il passaggio per uno dei due punti con la formula della retta per un punto; la scelta del punto non cambia il risultato, perché entrambi appartengono alla retta. Una verifica con l’altro punto: per $x = 2$ si ottiene $y = - 4 + 1 = - 3$ , che è l’ordinata di $B$ , quindi la retta passa anche per $B$ .

Esercizio 2

Scrivere le equazioni della retta per $P (1, 2)$ parallela alla retta $y = 3 x - 5$ e della retta per $P$ perpendicolare alla stessa retta.

La retta data ha coefficiente angolare $m = 3$ . La parallela per $P$ ha lo stesso coefficiente angolare:

y - 2 = 3 (x - 1), y = 3 x - 1.

La perpendicolare per $P$ ha coefficiente angolare $m^{'} = - \frac{1}{3}$ , poiché la perpendicolarità richiede $m m^{'} = - 1$ :

y - 2 = - \frac{1}{3} (x - 1), y = - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3} .

Risultato: parallela $y = 3 x - 1$ , perpendicolare $y = - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$ .

Il parallelismo e la perpendicolarità fissano il coefficiente angolare della retta cercata, quindi il passaggio per $P$ determina tutto il resto. Per la parallela si copia $m = 3$ ; per la perpendicolare si impone $m m^{'} = - 1$ , da cui $m^{'}$ è l’opposto del reciproco di $3$ . In entrambi i casi si usa la retta per un punto con il coefficiente angolare trovato e si porta l’equazione in forma esplicita. Una verifica: per $x = 1$ la parallela dà $y = 3 - 1 = 2$ e la perpendicolare dà $y = - \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = 2$ , quindi entrambe passano per $P (1, 2)$ .

Esercizio 3

Calcolare la distanza del punto $P (2, 1)$ dalla retta $r$ di equazione

y = \frac{3}{4} x + 1.

Si porta la retta in forma implicita moltiplicando per $4$ e ordinando:

4 y = 3 x + 4, 3 x - 4 y + 4 = 0.

La formula della distanza dà

d (P, r) = \frac{∣3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 4∣}{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = \frac{∣6 - 4 + 4∣}{25} = \frac{6}{5} .

Risultato: $d (P, r) = \frac{6}{5}$ .

La formula della distanza punto-retta richiede la forma implicita $a x + b y + c = 0$ , quindi la prima operazione porta tutti i termini a sinistra eliminando la frazione. Nel numeratore si sostituiscono le coordinate di $P$ al posto di $x$ e $y$ e si prende il valore assoluto, perché una distanza non è negativa; nel denominatore compare la radice della somma dei quadrati dei coefficienti di $x$ e $y$ , che qui vale $9 + 16 = 5$ .