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Formulario di Analisi matematica 2

Le formule di Analisi 2 con le ipotesi: limiti e derivate in più variabili, Dini, Lagrange, integrali di linea, doppi, tripli e di superficie, Green, Gauss e Stokes, serie di potenze e di Fourier.

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Limiti e continuità in due variabili

Le dimostrazioni e gli esempi sono nel capitolo Funzioni di più variabili.

Norma, distanza e intorno

\lVert (x, y) \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

B(P_0, r) = \{ P : \lVert P - P_0 \rVert < r \}

Le formule valgono per $P = (x_1, y_1)$ , $Q = (x_2, y_2)$ e $r > 0$ . In $\mathbb{R}^n$ la norma è la radice quadrata della somma dei quadrati delle $n$ componenti.

Condizioni per il dominio naturale

Espressione	Condizione
$\dfrac{A}{B}$	$B \neq 0$
$\sqrt[2k]{A}$	$A \geq 0$
$\ln A$	$A > 0$
$\arcsin A$ , $\arccos A$	$-1 \leq A \leq 1$

Le condizioni presenti nell’espressione di $f(x, y)$ devono essere soddisfatte insieme, perciò si raccolgono in un sistema.

Teorema delle restrizioni

\lim_{(x, y) \to P_0} f(x, y) = L \implies \lim_{t \to t_0} f(\gamma(t)) = L

L’implicazione vale per ogni curva $\gamma$ nel dominio con $\gamma(t) \to P_0$ e $\gamma(t) \neq P_0$ per $t \to t_0$ . Quindi, se due restrizioni hanno limiti diversi, il limite di $f$ non esiste. Nell’origine le restrizioni più usate sono $f(x, mx)$ , $f(0, y)$ e $f(x, x^2)$ .

Teorema del confronto

|f(x, y) - L| \leq g(x, y), \qquad \lim_{(x, y) \to P_0} g(x, y) = 0 \implies \lim_{(x, y) \to P_0} f(x, y) = L

La disuguaglianza deve valere in un intorno di $P_0$ , escluso al più $P_0$ . Il teorema si usa per dimostrare che un limite esiste.

Maggiorazioni utili

|x| \leq \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad x^2 \leq x^2 + y^2, \qquad |xy| \leq \frac{x^2 + y^2}{2}

0 \leq \frac{x^2}{x^2 + y^2} \leq 1, \qquad |\sin t| \leq |t|, \qquad |\sin t| \leq 1

Valgono per ogni $(x, y)$ e ogni $t$ reale, il rapporto per $(x, y) \neq (0, 0)$ , e valgono anche con $y$ al posto di $x$ .

Limitata per infinitesima

|f(x, y)| \leq C, \qquad \lim_{(x, y) \to P_0} g(x, y) = 0 \implies \lim_{(x, y) \to P_0} f(x, y)\, g(x, y) = 0

La maggiorazione $|f| \leq C$ deve valere in un intorno di $P_0$ . Sono limitati il seno e il coseno di qualunque argomento e i rapporti $\dfrac{x^2}{x^2 + y^2}$ e $\dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ .

Limiti in coordinate polari

x = x_0 + \rho \cos\theta, \qquad y = y_0 + \rho \sin\theta, \qquad \rho > 0, \ \theta \in [0, 2\pi)

\begin{cases} |f(x_0 + \rho \cos\theta,\, y_0 + \rho \sin\theta) - L| \leq g(\rho) \ \text{ per ogni } \theta \\[4pt] g(\rho) \to 0 \ \text{ per } \rho \to 0^+ \end{cases} \implies \lim_{(x, y) \to P_0} f(x, y) = L

La funzione $g(\rho)$ deve essere indipendente da $\theta$ . Con $P_0 = (0, 0)$ si ha $x^2 + y^2 = \rho^2$ .

Limiti notevoli con argomento infinitesimo

\begin{aligned} \lim_{(x, y) \to P_0} \frac{\sin g(x, y)}{g(x, y)} &= 1, \qquad \lim_{(x, y) \to P_0} \frac{1 - \cos g(x, y)}{g(x, y)^2} = \frac{1}{2} \\[6pt] \lim_{(x, y) \to P_0} \frac{\ln\bigl(1 + g(x, y)\bigr)}{g(x, y)} &= 1, \qquad \lim_{(x, y) \to P_0} \frac{e^{g(x, y)} - 1}{g(x, y)} = 1 \end{aligned}

Valgono se $g(x, y) \to 0$ per $(x, y) \to P_0$ e $g(x, y) \neq 0$ in un intorno di $P_0$ privato di $P_0$ . Nell’origine l’argomento tipico è $g = x^2 + y^2$ .

Continuità e prolungamento per continuità

f \text{ continua in } P_0 \iff \lim_{(x, y) \to P_0} f(x, y) = f(P_0)

La definizione vale per $P_0$ del dominio e di accumulazione per il dominio. Polinomi e funzioni elementari sono continui nel loro dominio, e lo sono anche somme, prodotti, quozienti con denominatore non nullo e composizioni di funzioni continue. Se $P_0$ non appartiene al dominio e il limite esiste finito e vale $L$ , la funzione si prolunga per continuità ponendo $\tilde{f}(P_0) = L$ .

Attenzione

Le restrizioni lungo le rette possono avere tutte lo stesso limite anche quando il limite non esiste. Per $f(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ nell’origine si ha $f(x, mx) = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ per ogni $m$ e $f(0, y) = 0$ , mentre $f(x, x^2) = \dfrac{1}{2}$ per ogni $x \neq 0$ . Perciò il limite non esiste.

Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente

Gli enunciati completi e le dimostrazioni sono nel capitolo Calcolo differenziale in più variabili.

Derivate parziali

\begin{aligned} f_x(x_0, y_0) &= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{t} \\[6pt] f_y(x_0, y_0) &= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\, y_0 + t) - f(x_0, y_0)}{t} \end{aligned}

Le derivate esistono se i limiti esistono finiti, con $(x_0, y_0)$ interno al dominio. Nel calcolo di $f_x$ la variabile $y$ si tratta come una costante. Nei punti di raccordo di una funzione definita a tratti si usa la definizione.

Gradiente

\nabla f(x_0, y_0) = \bigl( f_x(x_0, y_0),\; f_y(x_0, y_0) \bigr), \qquad \nabla f = (f_x,\, f_y,\, f_z) \ \text{ in } \mathbb{R}^3

Il gradiente è definito nei punti in cui $f$ è derivabile.

Differenziabilità

\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(x_0 + h,\, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)\, h - f_y(x_0, y_0)\, k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0

f(x_0 + h,\, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + f_x\, h + f_y\, k + o\bigl(\sqrt{h^2 + k^2}\bigr)

Le due scritture sono equivalenti e richiedono che $f$ sia derivabile in $(x_0, y_0)$ . Il differenziale è l’applicazione lineare $(h, k) \mapsto f_x(x_0, y_0)\, h + f_y(x_0, y_0)\, k$ .

Teorema del differenziale totale

f_x,\ f_y \ \text{continue in } (x_0, y_0) \implies f \ \text{differenziabile in } (x_0, y_0)

Le derivate parziali devono esistere in un intorno del punto. In particolare una funzione di classe $C^1(A)$ è differenziabile in ogni punto dell’aperto $A$ .

Schema delle implicazioni

C^1 \implies \text{differenziabile} \implies \text{continua}, \qquad \text{differenziabile} \implies \text{derivabile}

Nessuna delle implicazioni si inverte. Una funzione discontinua in un punto non è quindi differenziabile in quel punto.

Piano tangente al grafico

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)

L’equazione rappresenta il piano tangente al grafico nel punto $\bigl(x_0, y_0, f(x_0, y_0)\bigr)$ se $f$ è differenziabile in $(x_0, y_0)$ . Un vettore normale al piano è $\bigl(f_x(x_0, y_0),\, f_y(x_0, y_0),\, -1\bigr)$ .

Derivata direzionale, regola della catena e formula di Taylor

Le formule sono dimostrate nel capitolo Calcolo differenziale in più variabili.

Derivata direzionale

D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t v_1,\, y_0 + t v_2) - f(x_0, y_0)}{t}

Il vettore $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ è un versore, cioè $v_1^2 + v_2^2 = 1$ . Se la direzione è assegnata con un vettore $\mathbf{w}$ di modulo qualsiasi, si usa $\mathbf{v} = \dfrac{\mathbf{w}}{|\mathbf{w}|}$ .

Formula del gradiente

D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{v} = f_x(x_0, y_0)\, v_1 + f_y(x_0, y_0)\, v_2

La formula vale se $f$ è differenziabile in $(x_0, y_0)$ . Negli altri punti la derivata direzionale si calcola con la definizione.

Direzione di massima crescita

\max_{|\mathbf{v}| = 1} D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = |\nabla f(x_0, y_0)|, \qquad \mathbf{v} = \frac{\nabla f(x_0, y_0)}{|\nabla f(x_0, y_0)|}

Vale per $f$ differenziabile con $\nabla f(x_0, y_0) \neq (0, 0)$ . Il valore minimo $-|\nabla f(x_0, y_0)|$ si ha lungo il versore opposto; lungo le direzioni ortogonali al gradiente la derivata direzionale è nulla, quindi il gradiente è ortogonale alla curva di livello per il punto.

Regola della catena con un parametro

\frac{d}{dt} f\bigl(x(t), y(t)\bigr) = f_x\bigl(x(t), y(t)\bigr)\, x'(t) + f_y\bigl(x(t), y(t)\bigr)\, y'(t)

Vale se $x(t)$ e $y(t)$ sono derivabili in $t$ e $f$ è differenziabile nel punto $\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ . In forma vettoriale la derivata è $\nabla f\bigl(x(t), y(t)\bigr) \cdot \bigl(x'(t), y'(t)\bigr)$ .

Regola della catena con due parametri

\frac{\partial F}{\partial s} = f_x\, \frac{\partial x}{\partial s} + f_y\, \frac{\partial y}{\partial s}, \qquad \frac{\partial F}{\partial t} = f_x\, \frac{\partial x}{\partial t} + f_y\, \frac{\partial y}{\partial t}

Valgono per $F(s, t) = f\bigl(x(s, t), y(s, t)\bigr)$ , con $f$ differenziabile e $x$ , $y$ dotate di derivate parziali; le derivate di $f$ sono calcolate in $\bigl(x(s, t), y(s, t)\bigr)$ .

Derivate seconde e teorema di Schwarz

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} f_x, \qquad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} f_y, \qquad f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)

L’uguaglianza delle derivate miste vale se $f_{xy}$ e $f_{yx}$ esistono in un intorno di $(x_0, y_0)$ e sono continue nel punto, in particolare per ogni $f$ di classe $C^2$ .

Matrice hessiana

H_f(x_0, y_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\[4pt] f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \end{pmatrix}, \qquad \det H_f = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2

Per $f$ di classe $C^2$ la matrice è simmetrica, per il teorema di Schwarz, e la formula del determinante usa $f_{xy} = f_{yx}$ .

Formula di Taylor al secondo ordine

\begin{aligned} f(x_0 + h,\, y_0 + k) ={}& f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\, h + f_y(x_0, y_0)\, k \\[6pt] &+ \frac{1}{2} \Bigl( f_{xx}(x_0, y_0)\, h^2 + 2 f_{xy}(x_0, y_0)\, h k + f_{yy}(x_0, y_0)\, k^2 \Bigr) \\[6pt] &+ o\bigl(h^2 + k^2\bigr) \end{aligned}

Vale per $f$ di classe $C^2$ in un intorno di $(x_0, y_0)$ e per $(h, k) \to (0, 0)$ , con $h = x - x_0$ e $k = y - y_0$ . Il termine di secondo grado è $\dfrac{1}{2}\, (h, k)\, H_f(x_0, y_0)\, (h, k)^{T}$ .

Funzioni implicite e teorema di Dini

Le dimostrazioni e gli esempi si trovano nel capitolo Funzioni implicite.

Teorema di Dini in due variabili

\begin{cases} F(x_0, y_0) = 0 \\[4pt] F_y(x_0, y_0) \neq 0 \end{cases} \implies \varphi'(x) = -\,\frac{F_x(x, \varphi(x))}{F_y(x, \varphi(x))}

Vale per $F$ di classe $C^1$ in un aperto che contiene $(x_0, y_0)$ . Nelle ipotesi esistono un intorno $I$ di $x_0$ , un intorno $J$ di $y_0$ e un’unica funzione $\varphi : I \to J$ di classe $C^1$ con $\varphi(x_0) = y_0$ e $F(x, \varphi(x)) = 0$ per ogni $x \in I$ ; in particolare $\varphi'(x_0) = -\dfrac{F_x(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)}$ .

Funzione implicita della variabile y

\begin{cases} F(x_0, y_0) = 0 \\[4pt] F_x(x_0, y_0) \neq 0 \end{cases} \implies \psi'(y) = -\,\frac{F_y(\psi(y), y)}{F_x(\psi(y), y)}

In questo caso vicino al punto la curva $F = 0$ è il grafico di $x = \psi(y)$ . Nei punti in cui $F_x$ e $F_y$ sono entrambe nulle il teorema non si applica in nessuna delle due forme, e i punti si dicono singolari.

Derivata seconda della funzione implicita

\varphi''(x) = -\,\frac{F_{xx} F_y^2 - 2 F_{xy} F_x F_y + F_{yy} F_x^2}{F_y^3}

Vale per $F$ di classe $C^2$ nelle ipotesi del teorema di Dini, con tutte le derivate parziali calcolate in $(x, \varphi(x))$ . Lo stesso risultato si ottiene derivando due volte l’identità $F(x, \varphi(x)) = 0$ .

Punti stazionari della funzione implicita

\varphi'(x_0) = 0 \iff F_x(x_0, y_0) = 0, \qquad \varphi''(x_0) = -\,\frac{F_{xx}(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)}

Valgono per $F$ di classe $C^2$ , $F(x_0, y_0) = 0$ e $F_y(x_0, y_0) \neq 0$ ; la seconda formula vale nei punti con $F_x(x_0, y_0) = 0$ . Se $\varphi''(x_0) < 0$ , il punto $x_0$ è di massimo locale per $\varphi$ ; se $\varphi''(x_0) > 0$ , è di minimo locale.

Retta tangente a una curva di livello

F_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)\,(y - y_0) = 0

Vale per $F$ di classe $C^1$ con $F(x_0, y_0) = 0$ e $\nabla F(x_0, y_0) \neq (0, 0)$ . Il gradiente $\nabla F(x_0, y_0)$ è ortogonale alla curva; se $F_y(x_0, y_0) = 0$ , la retta è verticale.

Teorema di Dini in tre variabili

\begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0 \\[4pt] F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0 \end{cases} \implies g_x = -\,\frac{F_x}{F_z}, \qquad g_y = -\,\frac{F_y}{F_z}

Vale per $F$ di classe $C^1$ . Vicino a $(x_0, y_0, z_0)$ la superficie $F = 0$ è il grafico di una funzione $z = g(x, y)$ di classe $C^1$ con $g(x_0, y_0) = z_0$ , e le derivate di $F$ sono calcolate in $(x, y, g(x, y))$ .

Piano tangente a una superficie di livello

F_x(P_0)\,(x - x_0) + F_y(P_0)\,(y - y_0) + F_z(P_0)\,(z - z_0) = 0

Vale per $F$ di classe $C^1$ con $F(P_0) = 0$ e $\nabla F(P_0) \neq (0, 0, 0)$ , dove $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ . Il gradiente $\nabla F(P_0)$ è il vettore normale alla superficie.

Teorema di Dini per i sistemi

\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}(P_0) = \det \begin{pmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{pmatrix}(P_0) \neq 0

\begin{cases} F_x + F_y\, y'(x) + F_z\, z'(x) = 0 \\[4pt] G_x + G_y\, y'(x) + G_z\, z'(x) = 0 \end{cases}

Se $F$ e $G$ sono di classe $C^1$ , $P_0$ risolve il sistema $F = 0$ , $G = 0$ e il determinante jacobiano è non nullo, vicino a $P_0$ il sistema definisce $y = y(x)$ e $z = z(x)$ di classe $C^1$ . Le derivate $y'(x_0)$ e $z'(x_0)$ risolvono il sistema lineare nelle incognite $y'$ e $z'$ , con le derivate di $F$ e $G$ calcolate in $P_0$ .

Massimi e minimi liberi e vincolati

I metodi e gli esempi completi sono nel capitolo Massimi e minimi liberi e vincolati.

Punti critici e teorema di Fermat

\begin{cases} f_x(x_0, y_0) = 0 \\[4pt] f_y(x_0, y_0) = 0 \end{cases}

Se $(x_0, y_0)$ è un punto di estremo locale interno al dominio e $f$ vi ammette derivate parziali, il sistema è soddisfatto. Gli estremi liberi si cercano quindi tra i punti critici e i punti interni in cui $f$ non è derivabile.

Classificazione con la matrice Hessiana

\begin{aligned} \det H > 0, \ f_{xx} > 0 &\implies \text{minimo locale} \\[4pt] \det H > 0, \ f_{xx} < 0 &\implies \text{massimo locale} \\[4pt] \det H < 0 &\implies \text{punto di sella} \end{aligned}

Vale per $f$ di classe $C^2$ in un punto critico, con $H = H_f(x_0, y_0)$ e le derivate calcolate nel punto. Se $\det H = 0$ , il criterio non decide.

Hessiana degenere: studio del segno

\begin{aligned} f(x, y) - f(x_0, y_0) \geq 0 \ \text{ vicino a } (x_0, y_0) &\implies \text{minimo locale} \\[4pt] f(x, y) - f(x_0, y_0) \leq 0 \ \text{ vicino a } (x_0, y_0) &\implies \text{massimo locale} \end{aligned}

Lo studio diretto si usa quando $\det H = 0$ . Se in ogni intorno la differenza assume entrambi i segni, il punto è di sella; per dimostrarlo bastano due curve per il punto lungo le quali la differenza ha segni opposti.

Teorema di Weierstrass ed estremi assoluti

K \ \text{compatto}, \ f \ \text{continua su } K \implies f \ \text{ammette massimo e minimo assoluti su } K

Un insieme di $\mathbb{R}^n$ è compatto se è chiuso e limitato. I candidati sono i punti critici interni, i punti interni in cui $f$ non è derivabile e i punti di estremo della restrizione alla frontiera, vertici compresi; il confronto dei valori di $f$ nei candidati dà massimo e minimo.

Restrizione alla frontiera

g(t) = f(x_0 + r\cos t,\; y_0 + r\sin t), \qquad t \in [0, 2\pi]

È la restrizione di $f$ alla circonferenza di centro $(x_0, y_0)$ e raggio $r$ . Sul segmento $y = c$ con $x \in [a, b]$ la restrizione è $g(x) = f(x, c)$ , da studiare su $[a, b]$ con gli estremi dell’intervallo tra i candidati.

Moltiplicatori di Lagrange con un vincolo

\begin{cases} f_x(x, y) = \lambda\, g_x(x, y) \\[4pt] f_y(x, y) = \lambda\, g_y(x, y) \\[4pt] g(x, y) = 0 \end{cases}

Vale per $f$ e $g$ di classe $C^1$ . Se $(x_0, y_0)$ è un punto di estremo vincolato con $\nabla g(x_0, y_0) \neq (0, 0)$ , esiste $\lambda$ tale che $(x_0, y_0, \lambda)$ risolve il sistema. Se il vincolo è compatto, massimo e minimo si ottengono confrontando i valori di $f$ nelle soluzioni e nei punti del vincolo con $\nabla g = (0, 0)$ .

Moltiplicatori di Lagrange con due vincoli

\begin{cases} \nabla f(x, y, z) = \lambda\, \nabla g(x, y, z) + \mu\, \nabla h(x, y, z) \\[4pt] g(x, y, z) = 0 \\[4pt] h(x, y, z) = 0 \end{cases}

Vale per $f$ , $g$ , $h$ di classe $C^1$ nei punti in cui $\nabla g$ e $\nabla h$ sono linearmente indipendenti. Il sistema ha cinque equazioni nelle incognite $x$ , $y$ , $z$ , $\lambda$ , $\mu$ .

Distanza da un punto

d^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2

La radice quadrata è crescente, perciò la distanza e il suo quadrato hanno gli stessi punti di massimo e di minimo. Nei problemi di distanza minima si ottimizza quindi $d^2$ , che non contiene la radice.

Attenzione

I punti del vincolo in cui $\nabla g = (0, 0)$ non compaiono tra le soluzioni del sistema di Lagrange. Con il vincolo $g(x, y) = y^3 - x^2 = 0$ la funzione $f(x, y) = y$ ha minimo vincolato nell’origine, perché sul vincolo $y = x^{\frac{2}{3}} \geq 0$ . Nell’origine il sistema richiede $(0, 1) = \lambda\,(0, 0)$ , che non ha soluzione; il punto va aggiunto ai candidati.

Curve, lunghezza e integrali di linea

Le definizioni e le dimostrazioni sono nel capitolo Curve e integrali di linea.

Curva regolare e versore tangente

\gamma'(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t),\, z'(t)\bigr) \neq \mathbf{0}, \qquad T(t) = \frac{\gamma'(t)}{\lVert \gamma'(t) \rVert}

La curva $\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ è regolare se è di classe $C^1$ e $\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$ per ogni $t \in (a, b)$ . È regolare a tratti se è continua e regolare su ciascun intervallo di una suddivisione di $[a, b]$ .

Retta tangente a una curva parametrica

r(s) = \gamma(t_0) + s\, \gamma'(t_0), \qquad s \in \mathbb{R}

Vale nei punti con $\gamma'(t_0) \neq \mathbf{0}$ . Per una curva piana con $x'(t_0) \neq 0$ la pendenza della retta tangente è $\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ .

Lunghezza di una curva

L(\gamma) = \int_a^b \lVert \gamma'(t) \rVert \, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt

Vale per $\gamma$ regolare a tratti; per una curva piana manca il termine $z'(t)^2$ . Se la curva percorre più volte lo stesso arco, la formula somma le lunghezze dei passaggi; per le curve semplici dà la lunghezza del sostegno.

Lunghezza di un grafico e di una curva polare

L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx, \qquad L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\rho(\theta)^2 + \rho'(\theta)^2} \, d\theta

La prima formula vale per il grafico di $f$ di classe $C^1$ su $[a, b]$ . La seconda vale per la curva $\rho = \rho(\theta)$ , cioè $\gamma(\theta) = \bigl(\rho(\theta)\cos\theta,\, \rho(\theta)\sin\theta\bigr)$ , con $\rho$ di classe $C^1$ .

Ascissa curvilinea

s(t) = \int_a^t \lVert \gamma'(\tau) \rVert \, d\tau, \qquad ds = \lVert \gamma'(t) \rVert \, dt

Per $\gamma$ regolare la funzione $s$ è strettamente crescente da $[a, b]$ su $[0, L(\gamma)]$ . La quantità $ds$ è l’elemento di lunghezza degli integrali di linea.

Parametrizzazioni ricorrenti

\begin{aligned} \text{segmento da } P \text{ a } Q \qquad & \gamma(t) = P + t\,(Q - P), \quad t \in [0, 1] \\[4pt] \text{circonferenza} \qquad & \gamma(t) = (x_0 + r\cos t,\; y_0 + r\sin t), \quad t \in [0, 2\pi] \\[4pt] \text{ellisse} \qquad & \gamma(t) = (a\cos t,\; b\sin t), \quad t \in [0, 2\pi] \\[4pt] \text{elica} \qquad & \gamma(t) = (\cos t,\; \sin t,\; t), \quad \lVert \gamma'(t) \rVert = \sqrt{2} \end{aligned}

La circonferenza e l’ellisse sono percorse in verso antiorario per $t$ crescente; la circonferenza ha $\lVert \gamma'(t) \rVert = r$ .

Integrale di linea di prima specie

\int_\gamma f \, ds = \int_a^b f(\gamma(t))\, \lVert \gamma'(t) \rVert \, dt

Vale per $\gamma$ regolare e $f$ continua sul sostegno; per una curva regolare a tratti si sommano i contributi dei tratti. Il valore non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza, e per $f = 1$ è la lunghezza.

Massa e baricentro di un filo

m = \int_\gamma \delta \, ds, \qquad \bar{x} = \frac{1}{m} \int_\gamma x\, \delta \, ds, \qquad \bar{y} = \frac{1}{m} \int_\gamma y\, \delta \, ds

La densità lineare $\delta \geq 0$ è continua sul sostegno; nello spazio si aggiunge $\bar{z}$ . Per un filo omogeneo $\bar{x} = \dfrac{1}{L} \displaystyle\int_\gamma x \, ds$ ; se il filo è omogeneo e il sostegno è simmetrico rispetto a una retta, il baricentro appartiene a quella retta.

Integrale di linea di seconda specie

\int_\gamma F \cdot d\gamma = \int_a^b F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt = \int_a^b \bigl( F_1(\gamma(t))\, x'(t) + F_2(\gamma(t))\, y'(t) \bigr) \, dt

Vale per $\gamma$ regolare e $F = (F_1, F_2)$ continuo sul sostegno; nello spazio si aggiunge $F_3(\gamma(t))\, z'(t)$ . Con le forme differenziali l’integrale si scrive $\displaystyle\int_\gamma F_1 \, dx + F_2 \, dy$ ; se $F$ è un campo di forze, l’integrale è il lavoro.

Integrali di linea e orientazione

\int_{-\gamma} f \, ds = \int_\gamma f \, ds, \qquad \int_{-\gamma} F \cdot d\gamma = -\int_\gamma F \cdot d\gamma

La curva opposta è $(-\gamma)(t) = \gamma(a + b - t)$ con $t \in [a, b]$ . L’integrale di seconda specie dipende quindi dal verso di percorrenza indicato nella traccia.

Campi conservativi, potenziale e teorema di Green

Gli enunciati con le dimostrazioni sono nel capitolo Campi vettoriali e teorema di Green.

Campo conservativo e potenziale

\nabla U = F, \qquad U_x = F_1, \quad U_y = F_2, \quad U_z = F_3

Il campo $F$ è continuo su un aperto connesso $A$ e il potenziale $U$ è di classe $C^1$ su $A$ ; nel piano manca la terza uguaglianza. Due potenziali dello stesso campo su $A$ differiscono per una costante.

Lavoro di un campo conservativo

\int_\gamma F \cdot d\gamma = U(Q) - U(P), \qquad \oint_\gamma F \cdot d\gamma = 0 \ \text{ se } \gamma \text{ è chiusa}

Vale per $F = \nabla U$ su $A$ e $\gamma$ regolare a tratti in $A$ da $P$ a $Q$ . Quindi, se la circuitazione di $F$ lungo una curva chiusa contenuta in $A$ è diversa da zero, $F$ non è conservativo in $A$ .

Campo irrotazionale

\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x} \ \text{ in } A, \qquad \operatorname{rot} F = (0, 0, 0) \ \text{ in } A \subseteq \mathbb{R}^3

Per $F$ di classe $C^1$ la condizione è necessaria perché $F$ sia conservativo. Se le derivate incrociate sono diverse, il campo quindi non è conservativo.

Criterio per i campi conservativi

\begin{cases} F \ \text{di classe } C^1 \text{ e irrotazionale in } A \\[4pt] A \ \text{semplicemente connesso} \end{cases} \implies F \ \text{conservativo in } A

Sono semplicemente connessi $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^3$ , gli insiemi convessi, i semipiani e $\mathbb{R}^3$ privato di un punto. Non lo sono $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ , le corone circolari e $\mathbb{R}^3$ privato di una retta.

Potenziale per integrazione successiva

U(x, y) = \int F_1(x, y) \, dx + c(y), \qquad c'(y) = F_2(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int F_1(x, y) \, dx

La primitiva in $x$ si calcola con $y$ fissata. Se il campo è conservativo, il secondo membro dell’equazione per $c'(y)$ dipende solo da $y$ ; si integra in $y$ e si ottiene $c(y)$ a meno di una costante.

Potenziale come lavoro lungo una spezzata

U(x, y) = \int_{x_0}^{x} F_1(t, y_0) \, dt + \int_{y_0}^{y} F_2(x, t) \, dt

U(x, y, z) = \int_{x_0}^{x} F_1(t, y_0, z_0) \, dt + \int_{y_0}^{y} F_2(x, t, z_0) \, dt + \int_{z_0}^{z} F_3(x, y, t) \, dt

Valgono per $F$ conservativo su un aperto che contiene la spezzata da $(x_0, y_0)$ a $(x, y)$ con lati paralleli agli assi, nello spazio da $(x_0, y_0, z_0)$ a $(x, y, z)$ . Spesso il punto iniziale è l’origine.

Teorema di Green

\oint_{\partial D} F_1 \, dx + F_2 \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) dx \, dy

Vale per $D$ dominio regolare con bordo $\partial D$ regolare a tratti e orientato positivamente, e per $F = (F_1, F_2)$ di classe $C^1$ su un aperto contenente $D$ . Il bordo è orientato positivamente se lascia $D$ alla propria sinistra: in verso antiorario sul bordo esterno, orario sui bordi dei buchi.

Area con la formula di Green

\operatorname{area}(D) = \oint_{\partial D} x \, dy = -\oint_{\partial D} y \, dx = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x \, dy - y \, dx)

Valgono per $D$ dominio regolare con bordo orientato positivamente. Per l’ellisse $r(t) = (a\cos t,\, b\sin t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ , la terza formula dà $\pi a b$ .

Attenzione

Un campo irrotazionale su un aperto non semplicemente connesso può non essere conservativo. Il campo $F(x, y) = \left( \dfrac{-y}{x^2 + y^2},\, \dfrac{x}{x^2 + y^2} \right)$ è irrotazionale su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ , ma la sua circuitazione lungo la circonferenza unitaria percorsa in verso antiorario vale $2\pi$ . Perciò il campo non è conservativo su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ ; sul semipiano $x > 0$ un potenziale è $\arctan \dfrac{y}{x}$ .

Integrali doppi e tripli e formule di riduzione

Le dimostrazioni e gli esempi sono nel capitolo Integrali doppi e tripli.

Teorema di Fubini sui rettangoli

\iint_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y)\, dx\, dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y)\, dy \right) dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)\, dx \right) dy

Vale per $f$ continua sul rettangolo. I due ordini di integrazione danno lo stesso valore.

Funzioni a variabili separate

\iint_{[a, b] \times [c, d]} g(x)\, h(y)\, dx\, dy = \left( \int_a^b g(x)\, dx \right) \left( \int_c^d h(y)\, dy \right)

Vale per $g$ continua su $[a, b]$ e $h$ continua su $[c, d]$ , solo su domini rettangolari. Lo stesso vale per tre fattori su un parallelepipedo.

Formule di riduzione sui domini normali

D = \left\{ (x, y) : \begin{cases} a \leq x \leq b \\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \end{cases} \right\} \implies \iint_D f\, dx\, dy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\, dy \right) dx

D = \left\{ (x, y) : \begin{cases} c \leq y \leq d \\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \end{cases} \right\} \implies \iint_D f\, dx\, dy = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\, dx \right) dy

Valgono per $f$ continua su $D$ e funzioni $g_1 \leq g_2$ , $h_1 \leq h_2$ continue. La variabile esterna percorre un intervallo fisso.

Scambio dell'ordine di integrazione

\int_0^1 \left( \int_x^1 f(x, y)\, dy \right) dx = \int_0^1 \left( \int_0^y f(x, y)\, dx \right) dy

Le due scritture descrivono lo stesso triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 1)$ , normale rispetto a entrambi gli assi. Nel caso generale si disegna il dominio e lo si descrive rispetto all’altro asse.

Linearità, additività e monotonia

\iint_{D_1 \cup D_2} f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f, \qquad \left| \iint_D f \right| \leq \iint_D |f|

L’additività vale se $D_1$ e $D_2$ non hanno punti interni comuni. L’integrale è lineare, e se $f \leq g$ su $D$ allora $\displaystyle\iint_D f \leq \iint_D g$ .

Simmetrie del dominio

f(-x, y) = -f(x, y) \implies \iint_D f \, dx\, dy = 0, \qquad f(-x, y) = f(x, y) \implies \iint_D f \, dx\, dy = 2 \iint_{D^+} f \, dx\, dy

Valgono per $f$ continua su $D$ simmetrico rispetto all’asse $y$ , con $D^+$ la parte di $D$ in cui $x \geq 0$ . Scambiando $x$ e $y$ si ottengono le formule per i domini simmetrici rispetto all’asse $x$ ; negli integrali tripli valgono le analoghe rispetto ai piani coordinati.

Integrazione per fili

\iiint_E f\, dx\, dy\, dz = \iint_D \left( \int_{\alpha(x, y)}^{\beta(x, y)} f(x, y, z)\, dz \right) dx\, dy

Vale per $E = \{ (x, y, z) : (x, y) \in D, \ \alpha(x, y) \leq z \leq \beta(x, y) \}$ , con $\alpha \leq \beta$ continue su $D$ e $f$ continua su $E$ . Si usa per i solidi compresi tra due grafici.

Integrazione per strati

\iiint_E f\, dx\, dy\, dz = \int_a^b \left( \iint_{E_z} f(x, y, z)\, dx\, dy \right) dz, \qquad \iiint_E g(z)\, dx\, dy\, dz = \int_a^b g(z)\, \operatorname{Area}(E_z)\, dz

Valgono per $E$ compreso tra i piani $z = a$ e $z = b$ , con $E_z$ la sezione alla quota $z$ e le funzioni integrande continue. La seconda formula si usa quando la funzione dipende solo da $z$ .

Cambiamenti di variabile e jacobiano

Le formule sono spiegate, con le dimostrazioni e gli esempi, nel capitolo Integrali doppi e tripli.

Cambiamento di variabili

\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \iint_{D'} f\bigl( x(u, v),\, y(u, v) \bigr)\, |J(u, v)|\, du\, dv, \qquad J = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}

Vale per $\Phi(u, v) = \bigl(x(u, v), y(u, v)\bigr)$ di classe $C^1$ , iniettiva all’interno di $D'$ , con $J \neq 0$ all’interno di $D'$ , $D = \Phi(D')$ e $f$ continua su $D$ . Negli integrali tripli $J$ è il determinante della matrice $3 \times 3$ delle derivate parziali.

Jacobiano della trasformazione inversa

\det \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{\det \dfrac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}}

Vale quando le nuove variabili sono assegnate come $u = u(x, y)$ , $v = v(x, y)$ e il determinante a denominatore è non nullo. Per $u = xy$ e $v = \dfrac{y}{x}$ nel primo quadrante si ottiene $dx\, dy = \dfrac{du\, dv}{2v}$ .

Trasformazioni lineari

u = a_1 x + b_1 y, \quad v = a_2 x + b_2 y \implies dx\, dy = \frac{du\, dv}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}

Vale per $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ . Un parallelogramma con i lati sulle rette lungo le quali $u$ o $v$ è costante diventa un rettangolo del piano $uv$ .

Coordinate polari

x = \rho \cos\theta, \qquad y = \rho \sin\theta, \qquad dx\, dy = \rho \, d\rho\, d\theta

Valgono per $\rho \geq 0$ e $\theta \in [0, 2\pi)$ , con $x^2 + y^2 = \rho^2$ . Il cerchio di centro l’origine e raggio $R$ diventa $0 \leq \rho \leq R$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ; la corona di raggi $R_1 < R_2$ diventa $R_1 \leq \rho \leq R_2$ . Centrate in $(x_0, y_0)$ si scrivono $x = x_0 + \rho\cos\theta$ , $y = y_0 + \rho\sin\theta$ , con lo stesso jacobiano.

Coordinate ellittiche

x = a \rho \cos\theta, \qquad y = b \rho \sin\theta, \qquad dx\, dy = a b \rho \, d\rho\, d\theta

Valgono per $a, b > 0$ , $\rho \geq 0$ e $\theta \in [0, 2\pi)$ . L’ellisse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \leq 1$ diventa $0 \leq \rho \leq 1$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , e la sua area è $\pi a b$ .

Coordinate cilindriche

x = \rho \cos\theta, \qquad y = \rho \sin\theta, \qquad z = z, \qquad dx\, dy\, dz = \rho \, d\rho\, d\theta\, dz

Valgono per $\rho \geq 0$ e $\theta \in [0, 2\pi)$ . Si usano per i solidi con asse di simmetria $z$ : il cilindro $x^2 + y^2 \leq R^2$ , $0 \leq z \leq h$ diventa un parallelepipedo e il cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ ha equazione $z = \rho$ .

Coordinate sferiche

x = r \sin\varphi \cos\theta, \quad y = r \sin\varphi \sin\theta, \quad z = r \cos\varphi, \qquad dx\, dy\, dz = r^2 \sin\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta

Valgono per $r \geq 0$ , $\varphi \in [0, \pi]$ colatitudine misurata dal semiasse $z$ positivo e $\theta \in [0, 2\pi)$ , con $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ . La palla di raggio $R$ diventa $0 \leq r \leq R$ , $0 \leq \varphi \leq \pi$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ; la semipalla con $z \geq 0$ ha $0 \leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{2}$ .

Attenzione

L’elemento d’area in coordinate polari contiene il fattore $\rho$ del jacobiano. Per il cerchio di raggio $R$ si ha $\displaystyle\int_0^{2\pi} \int_0^R \rho \, d\rho \, d\theta = \pi R^2$ ; senza il fattore $\rho$ si otterrebbe $2\pi R$ , che è la lunghezza della circonferenza.

Aree, volumi, masse e baricentri

Le definizioni ed esempi di calcolo sono nel capitolo Integrali doppi e tripli.

Area e volume come integrali

\operatorname{Area}(D) = \iint_D dx\, dy, \qquad \operatorname{Vol}(E) = \iiint_E dx\, dy\, dz, \qquad \operatorname{Vol} = \iint_D \bigl( f(x, y) - g(x, y) \bigr)\, dx\, dy

La terza formula dà il volume del solido compreso tra i grafici di $g$ e $f$ su $D$ , con $g \leq f$ continue. Per $g = 0$ e $f \geq 0$ è il volume sotto il grafico di $f$ .

Massa e baricentro di una lamina

m = \iint_D \delta \, dx\, dy, \qquad \bar{x} = \frac{1}{m} \iint_D x\, \delta \, dx\, dy, \qquad \bar{y} = \frac{1}{m} \iint_D y\, \delta \, dx\, dy

La densità superficiale $\delta(x, y) \geq 0$ è continua su $D$ . Se la lamina è omogenea, $\delta$ si semplifica e $\bar{x} = \dfrac{1}{\operatorname{Area}(D)} \displaystyle\iint_D x\, dx\, dy$ ; se la lamina è omogenea e $D$ è simmetrico rispetto a una retta, il baricentro appartiene a quella retta.

Massa e baricentro di un solido

m = \iiint_E \delta \, dx\, dy\, dz, \qquad \bar{z} = \frac{1}{m} \iiint_E z\, \delta \, dx\, dy\, dz

La densità $\delta(x, y, z) \geq 0$ è continua su $E$ ; le coordinate $\bar{x}$ e $\bar{y}$ si scrivono allo stesso modo con $x$ e $y$ al posto di $z$ .

Volumi notevoli

Solido	Volume
palla di raggio $R$	$\dfrac{4}{3} \pi R^3$
cilindro di raggio $R$ e altezza $h$	$\pi R^2 h$
cono di raggio $R$ e altezza $h$	$\dfrac{1}{3} \pi R^2 h$
ellissoide di semiassi $a$ , $b$ , $c$	$\dfrac{4}{3} \pi a b c$
$x^2 + y^2 \leq z \leq h$	$\dfrac{1}{2} \pi h^2$

I valori si ottengono con le coordinate sferiche e cilindriche, con l’integrazione per strati e, per l’ellissoide, con la trasformazione $x = a u$ , $y = b v$ , $z = c w$ , di jacobiano $abc$ .

Superfici parametriche e integrali di superficie

Le dimostrazioni sono nel capitolo Superfici, flussi e teoremi di Gauss e Stokes.

Vettore normale e superficie regolare

\mathbf{N}(u, v) = \mathbf{r}_u(u, v) \wedge \mathbf{r}_v(u, v), \qquad \mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\lVert \mathbf{N} \rVert}

Valgono per $\mathbf{r} : D \to \mathbb{R}^3$ di classe $C^1$ . La superficie è regolare se $\mathbf{r}$ è iniettiva nei punti interni di $D$ e $\mathbf{N} \neq \mathbf{0}$ nei punti interni di $D$ .

Prodotto vettoriale

\mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] x_u & y_u & z_u \\[4pt] x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} = \bigl( y_u z_v - z_u y_v,\;\; z_u x_v - x_u z_v,\;\; x_u y_v - y_u x_v \bigr)

Il vettore ottenuto è ortogonale a $\mathbf{r}_u$ e a $\mathbf{r}_v$ , e la sua norma è l’area del parallelogramma che hanno per lati.

Piano tangente a una superficie parametrica

N_1\, (x - x_0) + N_2\, (y - y_0) + N_3\, (z - z_0) = 0

Vale nel punto $P_0 = \mathbf{r}(u_0, v_0) = (x_0, y_0, z_0)$ , con $(u_0, v_0)$ interno a $D$ e $\mathbf{N}(u_0, v_0) = (N_1, N_2, N_3) \neq \mathbf{0}$ .

Superficie cartesiana

\mathbf{r}(x, y) = \bigl( x,\, y,\, f(x, y) \bigr), \qquad \mathbf{N} = \bigl( -f_x,\, -f_y,\, 1 \bigr), \qquad \lVert \mathbf{N} \rVert = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}

Vale per $f$ di classe $C^1$ su $D$ . La superficie è sempre regolare e $\mathbf{N}$ punta verso l’alto.

Parametrizzazioni di sfera e cilindro

\begin{aligned} \mathbf{r}(\varphi, \theta) &= \bigl( R \sin\varphi \cos\theta,\; R \sin\varphi \sin\theta,\; R \cos\varphi \bigr), \qquad \lVert \mathbf{N} \rVert = R^2 \sin\varphi \\[6pt] \mathbf{r}(\theta, t) &= \bigl( R \cos\theta,\; R \sin\theta,\; t \bigr), \qquad \mathbf{N} = (R\cos\theta,\; R\sin\theta,\; 0) \end{aligned}

Per la sfera di raggio $R$ si ha $(\varphi, \theta) \in [0, \pi] \times [0, 2\pi]$ e $\mathbf{N} = \mathbf{r}_\varphi \wedge \mathbf{r}_\theta = R \sin\varphi \; \mathbf{r}(\varphi, \theta)$ , che punta verso l’esterno. Per il cilindro $x^2 + y^2 = R^2$ si ha $(\theta, t) \in [0, 2\pi] \times [0, h]$ e $\mathbf{N} = \mathbf{r}_\theta \wedge \mathbf{r}_t$ punta verso l’esterno.

Area di una superficie

\operatorname{Area}(\Sigma) = \iint_D \lVert \mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v \rVert \, du \, dv, \qquad d\sigma = \lVert \mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v \rVert \, du \, dv

Vale per $\Sigma = \mathbf{r}(D)$ regolare; il valore non dipende dalla parametrizzazione. La quantità $d\sigma$ è l’elemento d’area.

Area di una superficie cartesiana

\operatorname{Area}(\Sigma) = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \; dx \, dy

Vale per il grafico di $f$ di classe $C^1$ su $D$ . Per il paraboloide $z = x^2 + y^2$ sopra il disco unitario si ottiene $\dfrac{\pi}{6} \bigl( 5\sqrt{5} - 1 \bigr)$ .

Area di una superficie di rotazione

\operatorname{Area}(\Sigma) = 2\pi \int_a^b g(t) \, \sqrt{g'(t)^2 + h'(t)^2} \; dt

$\Sigma$ si ottiene ruotando di un giro attorno all’asse $z$ la curva regolare $x = g(t)$ , $z = h(t)$ , $t \in [a, b]$ , del semipiano $y = 0$ , con $g \geq 0$ e $g$ , $h$ di classe $C^1$ .

Aree notevoli

Superficie	Area
sfera di raggio $R$	$4 \pi R^2$
calotta sferica di altezza $h$	$2 \pi R h$
superficie laterale del cilindro	$2 \pi R h$
superficie laterale del cono	$\pi R \sqrt{R^2 + h^2}$

$R$ è il raggio della sfera, del cilindro e della base del cono, $h$ l’altezza della calotta, del cilindro e del cono.

Integrale di superficie

\iint_\Sigma f \, d\sigma = \iint_D f\bigl( \mathbf{r}(u, v) \bigr) \, \lVert \mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v \rVert \, du \, dv

Vale per $\Sigma = \mathbf{r}(D)$ regolare e $f$ continua su $\Sigma$ . Per $f = 1$ si ottiene l’area; se $f$ è una densità superficiale, l’integrale è la massa della superficie.

Flusso, divergenza e rotore, teoremi di Gauss e Stokes

Gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi sono nel capitolo Superfici, flussi e teoremi di Gauss e Stokes.

Flusso di un campo vettoriale

\Phi_\Sigma(\mathbf{F}) = \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; d\sigma = \iint_D \mathbf{F}\bigl( \mathbf{r}(u, v) \bigr) \cdot \bigl( \mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v \bigr) \, du \, dv

Vale per $\Sigma$ regolare orientata da $\mathbf{n}$ e $\mathbf{F}$ continuo su un aperto contenente $\Sigma$ . La seconda uguaglianza vale se $\mathbf{r}_u \wedge \mathbf{r}_v$ ha il verso di $\mathbf{n}$ ; con il verso opposto il flusso cambia segno.

Flusso attraverso una superficie cartesiana

\Phi_\Sigma(\mathbf{F}) = \iint_D \bigl( -F_1\, f_x - F_2\, f_y + F_3 \bigr) \, dx \, dy

Vale per il grafico di $f$ di classe $C^1$ su $D$ orientato verso l’alto, con le componenti di $\mathbf{F}$ calcolate in $(x, y, f(x, y))$ . Con l’orientazione verso il basso il flusso cambia segno.

Divergenza

\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}

È definita per $\mathbf{F}$ di classe $C^1$ . Il campo è solenoidale se $\operatorname{div} \mathbf{F} = 0$ ; per $\mathbf{F} = (x, y, z)$ si ha $\operatorname{div} \mathbf{F} = 3$ .

Rotore

\operatorname{rot} \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)

È definito per $\mathbf{F}$ di classe $C^1$ . Per un campo piano $(F_1, F_2, 0)$ con componenti indipendenti da $z$ resta solo la terza componente.

Identità di divergenza e rotore

\operatorname{rot} (\nabla f) = \mathbf{0}, \qquad \operatorname{div} (\operatorname{rot} \mathbf{F}) = 0

Valgono per $f$ e $\mathbf{F}$ di classe $C^2$ su un aperto di $\mathbb{R}^3$ . Ogni campo gradiente è quindi irrotazionale, e ogni rotore è solenoidale.

Teorema della divergenza (Gauss)

\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; d\sigma = \iiint_V \operatorname{div} \mathbf{F} \; dx \, dy \, dz

Vale per $V$ dominio regolare dello spazio con frontiera orientata dal versore normale esterno e $\mathbf{F}$ di classe $C^1$ su un aperto contenente $V$ . Per $\mathbf{F} = (x, y, z)$ il flusso uscente è $3 \operatorname{Vol}(V)$ .

Flusso attraverso una superficie aperta

\Phi_\Sigma(\mathbf{F}) = \iiint_V \operatorname{div} \mathbf{F} \; dx \, dy \, dz - \Phi_{\Sigma'}(\mathbf{F})

Vale quando la superficie ausiliaria $\Sigma'$ chiude $\Sigma$ , cioè $\Sigma \cup \Sigma'$ è la frontiera del dominio regolare $V$ , con entrambe le superfici orientate dalla normale esterna a $V$ . Di solito $\Sigma'$ è un disco piano.

Teorema di Stokes

\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_\Sigma \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; d\sigma

Vale per $\Sigma$ regolare orientata, con bordo $\partial\Sigma$ chiuso, regolare a tratti e orientato in modo coerente, e per $\mathbf{F}$ di classe $C^1$ su un aperto contenente $\Sigma$ . L’orientazione è coerente se un osservatore disposto come $\mathbf{n}$ che percorre il bordo ha la superficie alla sua sinistra; per un grafico orientato verso l’alto il bordo è percorso in verso antiorario visto dall’alto.

Successioni e serie di funzioni

Le dimostrazioni e i controesempi sono nel capitolo Successioni e serie di funzioni.

Convergenza puntuale

\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x) \qquad \text{per ogni } x \in A

Il limite si calcola per $x$ fissato, con i metodi dei limiti di successioni, distinguendo i casi quando l’espressione lo richiede. La funzione $f$ è il candidato limite per la convergenza uniforme.

Convergenza uniforme e criterio del sup

f_n \to f \ \text{uniformemente su } A \iff M_n = \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Il valore $M_n$ si trova di solito con lo studio della derivata di $f_n - f$ su $A$ . La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, e la risposta dipende dall’insieme $A$ .

Continuità del limite uniforme

f_n \ \text{continue su } A, \ f_n \to f \ \text{uniformemente su } A \implies f \ \text{continua su } A

Perciò, se il limite puntuale di funzioni continue è discontinuo, la convergenza non è uniforme.

Passaggio al limite sotto il segno di integrale

\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad \left| \int_a^b f_n - \int_a^b f \right| \leq (b - a)\, M_n

Vale per $f_n$ continue su $[a, b]$ con $f_n \to f$ uniformemente su $[a, b]$ .

Derivazione per successioni

\begin{cases} f_n(x_0) \ \text{converge per almeno un } x_0 \in [a, b] \\[4pt] f_n' \to g \ \text{uniformemente su } [a, b] \end{cases} \implies \left( \lim_{n \to +\infty} f_n \right)' = \lim_{n \to +\infty} f_n'

Vale per $f_n \in C^1([a, b])$ . Nelle ipotesi $f_n$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $f$ di classe $C^1$ con $f' = g$ .

Serie di funzioni: somme parziali e resto

s_N(x) = \sum_{n=1}^{N} f_n(x), \qquad \sup_{x \in A} \left| \sum_{n = N+1}^{\infty} f_n(x) \right| \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0

La serie converge puntualmente in $x$ se la serie numerica $\sum f_n(x)$ converge. La condizione sul resto equivale alla convergenza uniforme su $A$ .

Convergenza totale (criterio di Weierstrass)

\begin{cases} |f_n(x)| \leq M_n \ \text{ per ogni } x \in A \\[4pt] \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} M_n \ \text{ converge} \end{cases} \implies \sum_{n=1}^{\infty} f_n \ \text{converge totalmente, quindi uniformemente, su } A

La scelta più precisa è $M_n = \sup_A |f_n|$ . Vale la catena totale $\implies$ uniforme $\implies$ puntuale, e la convergenza totale implica anche la convergenza assoluta in ogni punto di $A$ .

Serie numeriche di confronto

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \ \text{converge} \iff p > 1, \qquad \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} \ \text{ per } |q| < 1

Sono le serie usate più spesso per la successione $M_n$ della convergenza totale.

Resto di una serie a segni alterni

\left| \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n - \sum_{n=1}^{N} (-1)^n a_n \right| \leq a_{N+1}

Vale per $(a_n)$ decrescente con $a_n \to 0$ . Se $a_n = a_n(x)$ e $\sup_A a_{N+1}(x) \to 0$ , la serie converge uniformemente su $A$ anche quando la convergenza non è totale.

Continuità, integrazione e derivazione termine a termine

\int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx, \qquad \left( \sum_{n=1}^{\infty} f_n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} f_n'

Se le $f_n$ sono continue e la serie converge uniformemente su $[a, b]$ , la somma è continua e vale la prima uguaglianza. La seconda vale per $f_n \in C^1([a, b])$ se $\sum f_n(x_0)$ converge in almeno un punto e $\sum f_n'$ converge uniformemente su $[a, b]$ , di solito totalmente.

Attenzione

La convergenza puntuale non conserva la continuità. Le funzioni $f_n(x) = x^n$ sono continue su $[0, 1]$ e convergono puntualmente alla funzione che vale $0$ su $[0, 1)$ e $1$ in $x = 1$ , che è discontinua. Su $[0, 1)$ si ha $\sup x^n = 1$ per ogni $n$ , quindi la convergenza non è uniforme; su $[0, a]$ con $0 < a < 1$ si ha $M_n = a^n \to 0$ e la convergenza è uniforme.

Serie di potenze e raggio di convergenza

Le dimostrazioni dei teoremi sul raggio sono nel capitolo Serie di potenze e serie di Taylor.

Raggio e insieme di convergenza

\begin{aligned} |x - x_0| < R &\implies \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \ \text{converge assolutamente} \\[4pt] |x - x_0| > R &\implies \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \ \text{non converge} \end{aligned}

(x_0 - R,\; x_0 + R) \subseteq E \subseteq [x_0 - R,\; x_0 + R]

Il raggio $R \in [0, +\infty]$ esiste per ogni serie di potenze; le inclusioni per l’insieme di convergenza $E$ valgono per $0 < R < +\infty$ . Nei punti $x_0 \pm R$ il teorema non dà informazioni e le due serie numeriche si studiano a parte.

Raggio con il criterio del rapporto

\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \ell \implies R = \frac{1}{\ell}

Vale per $a_n \neq 0$ definitivamente e $\ell \in [0, +\infty]$ , con $R = +\infty$ se $\ell = 0$ e $R = 0$ se $\ell = +\infty$ . Per $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n!}$ si ha $\ell = 0$ , quindi $R = +\infty$ .

Raggio con il criterio della radice

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \ell \implies R = \frac{1}{\ell}

Vale con le stesse convenzioni del criterio del rapporto. Si usa quando $a_n$ è una potenza $n$ -esima: per $a_n = \left( \dfrac{n}{2n + 1} \right)^{n}$ si ha $\ell = \dfrac{1}{2}$ , quindi $R = 2$ .

Serie lacunari

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{kn} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n, \qquad t = x^k, \qquad R = \sqrt[k]{R_t}

$R$ è il raggio della serie in $x$ , $R_t$ quello della serie in $t$ e $k \geq 2$ è intero. Le formule del rapporto e della radice sui coefficienti non si applicano alla serie in $x$ , che ha infiniti coefficienti nulli. Per $\displaystyle\sum \frac{x^{2n}}{4^n}$ si ha $R_t = 4$ , quindi $R = 2$ .

Comportamento agli estremi

\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} x^n: &\quad E = (-1, 1) \\[4pt] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}: &\quad E = [-1, 1) \\[4pt] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}: &\quad E = [-1, 1] \end{aligned}

Le tre serie hanno raggio $1$ . In $x = x_0 \pm R$ si studia la serie numerica con il confronto, il confronto asintotico e il criterio di Leibniz.

Proprietà della somma

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \ \text{ è continua su } (x_0 - R,\; x_0 + R)

Vale per $R > 0$ , perché per ogni $0 < r < R$ la serie converge totalmente su $[x_0 - r, x_0 + r]$ . Se $R < +\infty$ e la serie converge in $x_0 + R$ , per il teorema di Abel $\displaystyle\lim_{x \to (x_0 + R)^-} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n$ ; lo stesso vale in $x_0 - R$ .

Derivazione e integrazione termine a termine

f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\, a_n (x - x_0)^{n-1}, \qquad \int_{x_0}^{x} f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n + 1} (x - x_0)^{n+1}

Valgono per ogni $x \in (x_0 - R,\, x_0 + R)$ con $R > 0$ . Le due serie hanno lo stesso raggio $R$ della serie di partenza, e $f$ è di classe $C^\infty$ sull’intervallo aperto.

Sviluppi in serie di Taylor

Le serie di Taylor e la loro validità sono trattate nel capitolo Serie di potenze e serie di Taylor.

Serie di Taylor e unicità dello sviluppo

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n, \qquad f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \implies a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

La serie è definita per $f$ di classe $C^\infty$ vicino a $x_0$ ; per $x_0 = 0$ si chiama serie di MacLaurin. L’implicazione vale se lo sviluppo è valido in un intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ con $\delta > 0$ ; quindi ogni sviluppo ottenuto da sviluppi noti è la serie di Taylor della funzione.

Criterio di sviluppabilità

|f^{(n)}(x)| \leq M L^n \ \text{ per ogni } n \text{ e ogni } x \in I \implies f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \ \text{ su } I

Vale per $f$ di classe $C^\infty$ sull’intervallo $I$ centrato in $x_0$ e costanti $M, L > 0$ . Lo sviluppo vale se e solo se il resto $f(x) - T_n(x)$ tende a $0$ per $n \to \infty$ .

Esponenziale, seno e coseno

\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \\[6pt] \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots \\[6pt] \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \end{aligned}

I tre sviluppi valgono per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Serie geometrica e sviluppi collegati

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \qquad \frac{1}{1 + x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \qquad \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}

I tre sviluppi valgono per $-1 < x < 1$ .

Logaritmo e arcotangente

\begin{aligned} \ln(1 + x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} && -1 < x \leq 1 \\[6pt] -\ln(1 - x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} && -1 \leq x < 1 \\[6pt] \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^{2n+1}}{2n+1} && -1 \leq x \leq 1 \\[6pt] \ln \frac{1 + x}{1 - x} &= 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && -1 < x < 1 \end{aligned}

Gli estremi inclusi seguono dal teorema di Abel; in particolare $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$ e $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$ .

Serie binomiale

(1 + x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \qquad \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}, \qquad \binom{\alpha}{0} = 1

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots, \qquad \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{5x^3}{16} + \cdots

Lo sviluppo vale per $-1 < x < 1$ e $\alpha \in \mathbb{R}$ . Per $\alpha \in \mathbb{N}$ la somma è finita e coincide con il binomio di Newton, valido per ogni $x$ .

Sviluppi per sostituzione

g(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \ \text{ per } |t| < R \implies g(c\,x^k) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n c^n x^{kn} \ \text{ per } |c\, x^k| < R

Vale per $c \neq 0$ e $k \geq 1$ intero; la regione di validità si ottiene imponendo all’espressione sostituita la condizione dello sviluppo di partenza. Per esempio $e^{-x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Sviluppi centrati in un punto diverso dall'origine

\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{x_0}}{n!} (x - x_0)^n && x \in \mathbb{R} \\[6pt] \frac{1}{x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x_0^{n+1}} (x - x_0)^n && |x - x_0| < x_0 \\[6pt] \ln x &= \ln x_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\, x_0^n} (x - x_0)^n && 0 < x \leq 2 x_0 \end{aligned}

Le ultime due valgono per $x_0 > 0$ . Si ottengono dagli sviluppi in $0$ con la sostituzione $t = \dfrac{x - x_0}{x_0}$ , oppure con $t = x - x_0$ per l’esponenziale.

Somme ottenute per derivazione

\sum_{n=1}^{\infty} n\, x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} n\, x^{n} = \frac{x}{(1 - x)^2}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x (1 + x)}{(1 - x)^3}

Valgono per $-1 < x < 1$ . Una serie numerica con termini di questa forma si somma sostituendo il valore di $x$ : per $x = \dfrac{1}{2}$ si ottengono $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 2$ e $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = 6$ .

Serie di Fourier

Le dimostrazioni e gli esempi sono nel capitolo Serie di Fourier.

Coefficienti e serie di Fourier

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx \quad (n \geq 0), \qquad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx \quad (n \geq 1)

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \bigr)

Valgono per $f$ di periodo $2\pi$ , integrabile su $[-\pi, \pi]$ . Il termine $\dfrac{a_0}{2}$ è la media di $f$ su un periodo; l’integrale si può calcolare su qualunque intervallo di lunghezza $2\pi$ .

Funzioni pari e funzioni dispari

\begin{aligned} f \ \text{pari} &\implies b_n = 0, \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx \\[6pt] f \ \text{dispari} &\implies a_n = 0, \quad b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx \end{aligned}

Per una funzione pari la serie è di soli coseni, per una funzione dispari è di soli seni. Se si modifica $f$ in un numero finito di punti, i coefficienti restano gli stessi.

Ortogonalità del sistema trigonometrico

\begin{gathered} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \cos(mx)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(mx)\, dx = 0 \quad (n \neq m) \\[6pt] \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx)\, dx = \pi, \qquad \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx)\, dx = 0 \end{gathered}

Valgono per ogni coppia di interi $n, m \geq 1$ ; inoltre $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\, dx = 0$ .

Integrali ricorrenti nei coefficienti

\begin{aligned} \int x \cos(nx)\, dx &= \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2} + c \\[6pt] \int x \sin(nx)\, dx &= -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} + c \\[6pt] \cos(n\pi) &= (-1)^n, \qquad \sin(n\pi) = 0 \end{aligned}

Le primitive valgono per $n \geq 1$ intero e si ottengono integrando per parti; i valori in $n\pi$ valgono per ogni intero $n$ .

Convergenza puntuale

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \bigr) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

Vale in ogni $x \in \mathbb{R}$ per $f$ di periodo $2\pi$ e regolare a tratti. Nei punti di continuità la somma è $f(x)$ ; nei punti di salto è la media dei limiti laterali, e per il prolungamento di una funzione data su $[-\pi, \pi)$ i salti possono trovarsi in $\pm\pi$ .

Convergenza uniforme

\sum_{n=1}^{\infty} \bigl( |a_n| + |b_n| \bigr) \ \text{converge}, \qquad |a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)| \leq |a_n| + |b_n|

Valgono per $f$ di periodo $2\pi$ , continua su $\mathbb{R}$ e regolare a tratti. Per il criterio di Weierstrass la serie converge allora totalmente, quindi uniformemente, a $f$ su $\mathbb{R}$ . Per una funzione data su $[-\pi, \pi]$ la continuità del prolungamento richiede $f(-\pi) = f(\pi)$ .

Uguaglianza di Parseval

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n^2 + b_n^2 \bigr)

Vale per $f$ di periodo $2\pi$ con quadrato integrabile su $[-\pi, \pi]$ . Si usa per sommare serie numeriche con i quadrati dei coefficienti.

Periodo 2L

a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\!\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx, \qquad b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\!\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\!\left( \frac{n\pi x}{L} \right) + b_n \sin\!\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right)

Valgono per $f$ di periodo $2L$ , con $L > 0$ , integrabile su $[-L, L]$ . I teoremi di convergenza e le formule per funzioni pari e dispari restano validi; nell’uguaglianza di Parseval il primo membro diventa $\dfrac{1}{L} \displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)^2\, dx$ .

Sviluppi di Fourier notevoli

\begin{aligned} x &\sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) && x \in [-\pi, \pi) \\[6pt] x^2 &\sim \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\,(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx) && x \in [-\pi, \pi] \\[6pt] |x| &\sim \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^2} && x \in [-\pi, \pi] \\[6pt] q(x) &\sim \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1} && x \in [-\pi, \pi) \end{aligned}

Gli sviluppi si riferiscono ai prolungamenti di periodo $2\pi$ delle funzioni indicate. Nell’ultima riga $q$ è l’onda quadra, che vale $-1$ su $[-\pi, 0)$ e $1$ su $[0, \pi)$ ; i suoi coefficienti sono $b_n = \dfrac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n\pi}$ .

Somme di serie numeriche

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

Le prime tre si ottengono dalla convergenza puntuale degli sviluppi di $x^2$ in $x = \pi$ e in $x = 0$ e di $|x|$ in $x = 0$ ; la quarta dall’uguaglianza di Parseval per $x^2$ .

Attenzione

Se $f$ ha un punto di salto, la serie di Fourier non converge uniformemente su $\mathbb{R}$ , perché le somme parziali sono continue e il limite uniforme di funzioni continue è continuo. Per il prolungamento di $f(x) = x$ da $[-\pi, \pi)$ i limiti laterali in $x = \pi$ sono $\pi$ e $-\pi$ , e la serie in $x = \pi$ converge alla media $0$ ; la convergenza è quindi soltanto puntuale.