Formulario del Precorso di Analisi 1

Tavola di verità dei connettivi

La disgiunzione $p\vee q$ è inclusiva, cioè è vera anche quando $p$ e $q$ sono vere insieme. L’implicazione è falsa solo se l’ipotesi è vera e la tesi è falsa.

Doppia implicazione

La doppia implicazione è vera quando $p$ e $q$ hanno lo stesso valore di verità. Il simbolo $\equiv$ indica che due proposizioni hanno la stessa tavola di verità.

Leggi di De Morgan

La negazione scambia «e» con «o» e nega le singole parti. Per esempio la negazione di $x>0\wedge x<5$ è $x\le 0\vee x\ge 5$.

Implicazione, negazione e contronominale

La contronominale $\neg q\Rightarrow \neg p$ è equivalente all’implicazione di partenza. L’inversa $q\Rightarrow p$ ha una tavola di verità diversa, quindi può essere falsa anche quando $p\Rightarrow q$ è vera.

Condizione necessaria e sufficiente

Dalla contronominale segue che, se la condizione necessaria $q$ è falsa, anche $p$ è falsa. Per esempio «$n$ multiplo di $4$» è sufficiente per «$n$ pari», mentre «$n$ pari» è necessaria per «$n$ multiplo di $4$».

Negazione dei quantificatori

Con più quantificatori si scambiano tutti, dall’esterno verso l’interno, e alla fine si nega il predicato. Per esempio la negazione di $\forall x\exists y:y>x$ è $\exists x\forall y:y\le x$. Un solo controesempio basta a rendere falsa una proposizione universale.

Schemi di dimostrazione

I tre schemi dimostrano la stessa implicazione $p\Rightarrow q$. La dimostrazione per assurdo si fonda sull’equivalenza $\neg (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q$.

Esponente zero e negativo

Valgono per $a\ne 0$, $b\ne 0$ e $n$ naturale. La scrittura $0^0$ è priva di significato. Per esempio $2^{-3}=\frac{1}{8}$ e ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}$.

Potenza con base negativa

Vale per ogni $a$ reale e $n$ naturale. La scrittura $-2^4$ indica l’opposto di $2^4$, cioè $-16$, mentre $(-2{)}^4=16$.

Proprietà delle potenze

Valgono per $a,b>0$ ed esponenti reali. Con basi negative valgono per esponenti interi, dove le potenze sono definite.

Potenza a esponente razionale

Valgono per $a>0$, $m$ intero e $n$ naturale con $n\ge 2$. Con questa definizione le proprietà delle potenze continuano a valere, per esempio $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}$.

Confronto tra potenze

Con esponente $x<0$ la terza disuguaglianza si rovescia. Potenze con basi ed esponenti diversi si confrontano dopo averle riscritte con la stessa base o con lo stesso esponente, per esempio $2^{30}=8^{10}<9^{10}=3^{20}$.

Radice n-esima e condizioni di esistenza

Con indice pari la radice esiste solo se il radicando è maggiore o uguale a zero, e il suo valore è maggiore o uguale a zero. Per esempio $\sqrt{49}=7$, mentre l’equazione $x^2=49$ ha le soluzioni $x=\pm 7$; con indice dispari $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Proprietà delle radici

Valgono per $a\ge 0$ e $b\ge 0$ ($b>0$ nel quoziente), con indici $m,n\ge 2$ ed esponente naturale $k\ge 1$. Se gli indici sono dispari valgono per ogni $a$ e $b$ reali, con $b\ne 0$ nel quoziente.

Proprietà invariantiva e confronto tra radici

Valgono per $a\ge 0$ e $p\ge 1$ naturale. Radici con indici diversi si portano all’indice comune dato dal minimo comune multiplo degli indici. Per esempio $\sqrt{3}=\sqrt[6]{27}$ e $\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{25}$, quindi $\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}$.

Radice di un quadrato e trasporto di fattori

La prima vale per ogni $a$ reale, la seconda e la terza per $b\ge 0$. Per $a<0$ si ha $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$, per esempio $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$. Con indice $n$ pari $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, con indice dispari $\sqrt[n]{a^n}=a$.

Somma di radicali simili

Vale per radicali con lo stesso indice e lo stesso radicando, con $c\ge 0$ se $n$ è pari. Prima si estraggono i fattori dal segno di radice, per esempio $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$.

Razionalizzazione

Valgono per $a>0$, con $0<k<n$ nella seconda e $b\ge 0$, $a\ne b$ nella terza. La terza moltiplica per il binomio coniugato, poiché $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$; con un numero al posto di una radice si ha per esempio $\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$.

Quadrato di binomio e di trinomio

Valgono per ogni valore di $A$, $B$, $C$. Lette da destra a sinistra scompongono un trinomio formato da due quadrati e dal doppio prodotto delle basi, per esempio $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$.

Cubo di binomio

Valgono per ogni valore di $A$ e $B$. Per esempio $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$.

Differenza di quadrati

Vale per ogni valore di $A$ e $B$ e si applica anche più volte di seguito, per esempio $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

Somma e differenza di cubi

Valgono per ogni valore di $A$ e $B$. Il secondo fattore, detto falso quadrato, come trinomio in $A$ ha discriminante $-3B^2$, negativo per $B\ne 0$; perciò non ha radici reali e la scomposizione termina.

Somma e differenza di potenze

La prima vale per ogni naturale $n\ge 2$, la seconda per $n$ dispari. Per $n=3$ si ritrovano la differenza e la somma di cubi.

Potenza di un binomio e triangolo di Tartaglia

Vale per $n$ naturale. I coefficienti sono le righe del triangolo di Tartaglia, per esempio $(A+B{)}^4=A^4+4A^{3}B+6A^2{B}^2+4A{B}^3+B^4$. Nello sviluppo di $(A-B{)}^n$ i segni dei termini si alternano.

Trinomio speciale

Si applica quando i due numeri $a$ e $b$ si trovano a mente. Per esempio $x^2-x-12=(x+3)(x-4)$, poiché $3+(-4)=-1$ e $3\cdot (-4)=-12$.

Raccoglimento totale e parziale

Il raccoglimento parziale si conclude quando i gruppi lasciano lo stesso fattore, per esempio $x^3+2x^2+3x+6=x^2(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x^2+3)$.

Principio di identità dei polinomi

Con il principio si determinano coefficienti incogniti, per esempio da $x^2+bx+c=x^2-4x+3$ segue $b=-4$ e $c=3$. Nel prodotto di due polinomi non nulli i gradi si sommano, cioè $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$.

Divisione con resto

Per ogni divisore $B$ non nullo il quoziente $Q$ e il resto $R$ esistono e sono unici. Se $\mathrm{deg}A\ge \mathrm{deg}B$, il quoziente ha grado $\mathrm{deg}A-\mathrm{deg}B$; se $R=0$, il polinomio $B$ divide $A$.

Teorema del resto e teorema di Ruffini

Il resto della divisione per $x-c$ è quindi $P(c)$ e si calcola senza eseguire la divisione. Per un divisore $ax-b$ con $a\ne 0$ il resto è $P\left(\frac{b}{a}\right)$.

Schema di Ruffini

Nella prima riga si scrivono i coefficienti in ordine di grado decrescente, con $0$ al posto dei gradi mancanti; ogni numero della riga dei risultati si moltiplica per $c$ e si somma al coefficiente della colonna successiva. L’ultimo numero è il resto $P(c)$, gli altri sono i coefficienti del quoziente, di grado $\mathrm{deg}P-1$. Qui $x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)$.

Radici razionali di un polinomio

Vale per $P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ a coefficienti interi con $a_0\ne 0$, e per $\frac{p}{q}$ ridotta ai minimi termini. Le radici razionali si cercano quindi tra un numero finito di candidati; se $a_n=1$, sono numeri interi che dividono il termine noto.

Scomposizione del trinomio di secondo grado

Vale per $a\ne 0$ e $\Delta =b^2-4ac\ge 0$, con $x_1$ e $x_2$ radici del trinomio; se $\Delta =0$ si ha $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1{)}^2$. Se $\Delta <0$ il trinomio non si scompone in fattori reali di primo grado.

Molteplicità di una radice

In questo caso la radice $c$ ha molteplicità $m\ge 1$. Il grafico di $P$ attraversa l’asse $x$ in $c$ se $m$ è dispari e lo tocca senza attraversarlo se $m$ è pari.

Equazione di primo grado

Vale per $a\ne 0$. Per $a=0$ l’equazione è impossibile se $b\ne 0$ ed è un’identità se $b=0$.

Formula risolutiva

Vale per $a\ne 0$ e $\Delta \ge 0$. Per $\Delta >0$ le soluzioni sono due e distinte, per $\Delta =0$ c’è la sola soluzione doppia $x=-\frac{b}{2a}$, per $\Delta <0$ l’equazione non ha soluzioni reali.

Formula ridotta

Vale per $a\ne 0$ e $\frac{\Delta }{4}\ge 0$. È la formula risolutiva con numeratore e denominatore divisi per $2$, e abbrevia i calcoli quando $b$ è pari. Per esempio $x^2-6x+4=0$ ha $\frac{\Delta }{4}=9-4=5$, quindi $x=3\pm \sqrt{5}$.

Equazioni spurie e pure

Valgono per $a\ne 0$. La seconda ha soluzioni reali solo se $-\frac{c}{a}\ge 0$; per $-\frac{c}{a}<0$ è impossibile.

Somma e prodotto delle radici

Valgono per $a\ne 0$ e $\Delta \ge 0$, con $x_1$ e $x_2$ radici di $a{x}^2+bx+c=0$. Di conseguenza i due numeri con somma $s$ e prodotto $p$ sono le soluzioni di $x^2-sx+p=0$.

Legge di annullamento del prodotto

Un’equazione $P(x)=0$ di grado maggiore di due si risolve scomponendo $P$ in fattori e uguagliando a zero ciascun fattore. Un polinomio di grado $n$ ha al più $n$ radici reali.

Equazioni biquadratiche e trinomie

Ogni soluzione $t>0$ dà $x=\pm \sqrt{t}$, la soluzione $t=0$ dà $x=0$, le soluzioni $t<0$ si scartano. Allo stesso modo l’equazione $a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$ si risolve con la sostituzione $t=x^n$.

Principi di equivalenza delle disequazioni

Moltiplicando i due membri per una quantità negativa il verso si inverte. Per esempio da $-2x>-4$ segue $x<2$.

Segno del trinomio di secondo grado

Valgono per $a>0$, con $x_1<x_2$ radici del trinomio e $x_0$ radice doppia; per $x_1<x<x_2$ il trinomio è negativo. Per $a<0$ i segni sono gli opposti, e in alternativa si moltiplica per $-1$ invertendo il verso.

Segno di un prodotto e di un quoziente

Un prodotto è positivo dove il numero dei fattori negativi è pari e negativo dove è dispari; nella tabella dei segni ogni fattore occupa una riga. Un fattore $(x-c{)}^m$ con $m$ pari è positivo per $x\ne c$, con $m$ dispari ha il segno di $x-c$.

Equazioni fratte

Le condizioni di esistenza $D(x)\ne 0$ si scrivono per tutti i denominatori dell’equazione di partenza, prima di ridurre allo stesso denominatore. Le soluzioni di $N(x)=0$ che annullano un denominatore si scartano.

Disequazioni fratte

Gli zeri del denominatore sono esclusi per ogni verso; con $\ge$ e $\le$ gli zeri del numeratore sono inclusi.

Sistemi di disequazioni

Qui $S_A$ e $S_B$ sono gli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni. Le soluzioni del sistema sono quindi gli intervalli comuni a tutte le disequazioni.

Valore assoluto e distanza

Il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero e vale zero solo se $x=0$. Il numero $|x-c|$ è la distanza tra $x$ e $c$ sulla retta reale; per un’espressione $A$ si ha $|A|=A$ dove $A\ge 0$ e $|A|=-A$ dove $A<0$.

Proprietà del valore assoluto

Valgono per ogni $a,b$ reali, con $b\ne 0$ nel quoziente. L’ultima è la disuguaglianza triangolare, e l’uguaglianza vale se e solo se $ab\ge 0$.

Equazione |A| = k

Per $k=0$ l’equazione equivale ad $A=0$. Per $k<0$ non ha soluzioni, perché $|A|\ge 0$.

Equazione |A| = |B|

La formula vale senza condizioni aggiuntive, perché i due membri sono entrambi maggiori o uguali a zero.

Equazione |A| = B

Il primo membro non è negativo, quindi l’equazione impone la condizione $B\ge 0$. Le soluzioni che non la soddisfano si scartano.

Disequazioni |A| < k e |A| ≤ k

Valgono per $k>0$. Per $k\le 0$ la disequazione $|A|<k$ non ha soluzioni; la disequazione $|A|\le 0$ equivale ad $A=0$.

Disequazioni |A| > k e |A| ≥ k

Valgono per $k>0$. Per $k=0$ si ha $|A|>0⟺A\ne 0$. Per $k<0$ la disequazione $|A|>k$ è soddisfatta in tutto il dominio di $A$, e lo stesso vale per $|A|\ge k$ con $k\le 0$.

Disequazioni |A| < B e |A| > B

Le due forme valgono qualunque sia il segno di $B$, perché il sistema di sinistra comporta da solo $B>0$ e l’unione di destra comprende i punti con $B<0$. Con $\le$ e $\ge$ le forme sono le stesse, con le disuguaglianze larghe.

Disequazione |A| < |B|

Vale perché i due membri sono maggiori o uguali a zero, quindi il confronto tra i moduli equivale al confronto tra i quadrati.

Più valori assoluti: studio per zone

Gli argomenti di $|x|+|x-2|=4$ si annullano in $0$ e in $2$, che dividono la retta in tre zone; in ciascuna zona ogni modulo si scrive senza barre secondo il segno del suo argomento. Le soluzioni sono l’unione dei risultati delle zone, qui $x=-1$ e $x=3$.

Equazione √A = B

La condizione di esistenza $A\ge 0$ segue da $A=B^2$. Senza la condizione $B\ge 0$ l’elevamento al quadrato introduce soluzioni estranee: da $\sqrt{x}=x-2$ si ricava $x^2-5x+4=0$, ma la radice $x=1$ dà $x-2=-1<0$, quindi l’unica soluzione è $x=4$.

Equazione √A = √B

La condizione $B\ge 0$ segue da $A=B$ e $A\ge 0$. Al posto di $A\ge 0$ si può imporre $B\ge 0$, scegliendo il radicando più semplice.

Disequazioni √A < B e √A ≤ B

La prima condizione è l’esistenza della radice e la seconda segue da $\sqrt{A}\ge 0$. Con entrambi i membri maggiori o uguali a zero l’elevamento al quadrato conserva il verso.

Disequazioni √A > B e √A ≥ B

Dove $B<0$ basta che la radice esista; nel secondo sistema la condizione $A\ge 0$ segue da $A>B^2$. Per $\sqrt{A}\ge B$ il secondo sistema diventa $B\ge 0$, $A\ge B^2$.

Disequazione √A < √B

La condizione di esistenza $B\ge 0$ segue da $0\le A<B$.

Radici di indice dispari

Valgono senza condizioni di esistenza e senza casi sul segno dei membri, perché $y=x^3$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$. Lo stesso vale per ogni indice dispari $n$, con $B^n$ al posto di $B^3$.

Definizione di logaritmo

Vale per $a>0$, $a\ne 1$ e $b>0$. Il logaritmo esiste solo per argomenti positivi, perché $a^c>0$ per ogni $c$. Il logaritmo in base $e$ si indica con $\ln$.

Identità e valori notevoli

Valgono per $a>0$, $a\ne 1$; la terza per ogni $x$ reale, la quarta per $x>0$. Con la terza un numero si scrive come logaritmo, per esempio $2={\log }_{3}9$.

Proprietà dei logaritmi

Valgono per $a>0$, $a\ne 1$, $x>0$, $y>0$ e $p$ reale. Con l’incognita negli argomenti, le condizioni di esistenza si scrivono prima di applicarle.

Logaritmo di una potenza pari

Vale per $x\ne 0$. L’uguaglianza ${\log }_a(x^2)=2{\log }_{a}x$ vale solo per $x>0$, perciò applicata a un’equazione può restringerne il dominio.

Cambio di base

Valgono per $a,b>0$ diversi da $1$, $x>0$ e $k\ne 0$; per $k=-1$ si ottiene ${\log }_{\frac{1}{a}}x=-{\log }_{a}x$. Per esempio ${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$.

Funzione logaritmica

Per $a>1$ è strettamente crescente, per $0<a<1$ è strettamente decrescente; il grafico passa per $(1,0)$ e ha la retta $x=0$ come asintoto verticale. Per $a>1$ il logaritmo è negativo per $0<x<1$ e positivo per $x>1$.

Equazione logₐ A = logₐ B

Vale per $a>0$, $a\ne 1$, perché la funzione logaritmica è iniettiva. La condizione $B>0$ segue da $A=B$ e $A>0$. Se l’equazione si ottiene con le proprietà da più logaritmi, le condizioni di esistenza si scrivono su tutti i logaritmi dell’equazione di partenza.

Equazione logₐ A = k

Vale per $a>0$, $a\ne 1$ e $k$ reale. La condizione $A>0$ è soddisfatta, perché $a^k>0$.

Metodo di sostituzione

Vale per $a>0$, $a\ne 1$ e $x>0$. La sostituzione trasforma un’equazione in ${\log }_{a}x$ e $({\log }_{a}x{)}^2$ in un’equazione algebrica in $t$; ogni valore reale di $t$ è accettabile e dà la soluzione $x=a^t$.

Disequazione logₐ A > logₐ B

Con base maggiore di $1$ il verso si mantiene, con base tra $0$ e $1$ si rovescia. In ogni sistema la condizione di esistenza riguarda l’argomento minore, perché la positività dell’altro segue dalla disuguaglianza; con $\ge$, $<$, $\le$ la regola è la stessa.

Disequazione logₐ A > k

Per ${\log }_{a}A<k$ i due casi si scambiano, quindi la disequazione equivale a $0<A<a^k$ se $a>1$ e ad $A>a^k$ se $0<a<1$.

Funzione esponenziale

Vale per $a>0$, $a\ne 1$. Il grafico passa per $(0,1)$ e ha l’asintoto orizzontale $y=0$; la funzione è strettamente crescente per $a>1$ e strettamente decrescente per $0<a<1$. Vale inoltre ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$.

Equazione con la stessa base

Vale per $a>0$, $a\ne 1$, perché la funzione esponenziale è iniettiva. I due membri si riscrivono come potenze della stessa base, per esempio $8^x=2^{3x}$ e $\frac{1}{9}=3^{-2}$.

Equazione con secondo membro costante

Vale per $a>0$, $a\ne 1$ e $k>0$. Per $k\le 0$ l’equazione non ha soluzioni, perché $a^A>0$.

Equazione con basi diverse

Vale per $a,b>0$ e per ogni base $c>0$ con $c\ne 1$; si ottiene applicando ${\log }_c$ ai due membri, che sono positivi. Per esempio $2^x=3^{x-1}$ equivale a $x\ln 2=(x-1)\ln 3$, quindi $x=\frac{\ln 3}{\ln 3-\ln 2}$.

Metodo di sostituzione

Vale per $a>0$, $a\ne 1$. Le soluzioni in $t$ con $t\le 0$ si scartano, e da ogni $t>0$ si ricava $x={\log }_{a}t$. Nelle disequazioni l’insieme delle soluzioni in $t$ si interseca con $t>0$ prima di tornare alla variabile $x$.

Disequazioni con la stessa base

Con base maggiore di $1$ il verso si mantiene, con base tra $0$ e $1$ si rovescia; lo stesso vale con $\ge$, $<$, $\le$. Per $k>0$ si scrive $k=a^{{\log }_{a}k}$, quindi per esempio, se $a>1$, la disequazione $a^A>k$ equivale ad $A>{\log }_{a}k$.

Disequazioni con secondo membro negativo o nullo

Valgono per $a>0$ e $k\le 0$, perché $a^A>0$. Allo stesso modo $a^A\ge k$ è sempre soddisfatta e $a^A\le k$ non ha soluzioni.

Gradi e radianti

Qui $x$ è la misura in radianti e $\alpha$ la misura in gradi dello stesso angolo. Per esempio $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ corrispondono a $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$.

Seno, coseno e tangente

$P$ è il punto della circonferenza goniometrica individuato dall’angolo $x$, quindi $-1\le \sin x\le 1$ e $-1\le \cos x\le 1$. La tangente è definita per $x\ne \frac{\pi }{2}+n\pi$, la cotangente $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ per $x\ne n\pi$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Periodicità

Valgono per ogni $n\in \mathbb{Z}$, la terza dove la tangente è definita. Seno e coseno hanno periodo $2\pi$, la tangente ha periodo $\pi$; per $k\ne 0$ le funzioni $\sin (kx)$ e $\cos (kx)$ hanno periodo $\frac{2\pi }{|k|}$.

Valori notevoli di seno e coseno

Gli angoli del terzo e del quarto quadrante si riconducono a questi con gli angoli associati, per esempio $\sin \frac{7\pi }{6}=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$.

Valori notevoli della tangente

Negli altri quadranti i valori si ricavano dal periodo $\pi$ e da $\tan (-x)=-\tan x$, per esempio $\tan \frac{3\pi }{4}=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$.

Identità fondamentale e relazioni tra le funzioni

La prima vale per ogni $x$ reale, le altre per $\cos x\ne 0$. Noto $\sin x$, si ha $\cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$, con il segno determinato dal quadrante dell’angolo.

Angoli opposti, supplementari, esplementari e che differiscono di π

Valgono per ogni $x$ reale; perciò seno e tangente sono funzioni dispari e il coseno è pari. Per la tangente, dove è definita, $\tan (-x)=\tan (\pi -x)=\tan (2\pi -x)=-\tan x$ e $\tan (\pi +x)=\tan x$.

Angoli complementari e che differiscono di π/2

Valgono per ogni $x$ reale. Dove i due membri sono definiti, $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}$ e $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\frac{1}{\tan x}$.

Formule di addizione e sottrazione

Le prime due valgono per ogni $a,b$ reali, la terza dove $\tan a$, $\tan b$ e $\tan (a\pm b)$ sono definite. Per esempio $\cos \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Formule di duplicazione

Le prime due valgono per ogni $x$ reale, la terza dove $\tan x$ e $\tan 2x$ sono definite. Con la forma adatta di $\cos 2x$ un’equazione che contiene $\cos 2x$ e $\sin x$, oppure $\cos 2x$ e $\cos x$, diventa di secondo grado in una sola funzione.

Formule di triplicazione

Valgono per ogni $x$ reale e si ottengono scrivendo $3x=2x+x$ e applicando le formule di addizione e di duplicazione.

Formule di abbassamento di grado

Valgono per ogni $x$ reale e seguono dalle formule di duplicazione. Trasformano un’espressione di secondo grado in seno e coseno in un’espressione di primo grado in $\sin 2x$ e $\cos 2x$.

Formule di bisezione