Analisi 1

Gli argomenti dell'esame

Limiti, derivate, integrali, serie ed equazioni differenziali: la teoria e gli esercizi per l'esame.

1. Insiemi, induzione e funzioni elementari

   Il linguaggio degli insiemi e gli insiemi numerici da N a R, il principio di induzione e il binomio di Newton, poi le funzioni elementari con i loro grafici — il bagaglio di partenza per tutta l'analisi.

2. Numeri complessi

   Che cosa sono i numeri complessi, come si rappresentano in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, come si calcolano potenze e radici, e come si risolvono le equazioni in campo complesso.

3. Limiti e continuità

   Che cosa significa che una funzione tende a un valore, come si calcolano i limiti, quali teoremi li governano, e che cosa aggiunge la continuità.

4. Calcolo differenziale e Taylor

   La derivata come limite del rapporto incrementale, le regole di calcolo, i teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange con le loro conseguenze, il teorema di de l'Hôpital e la formula di Taylor.

5. Studio di funzione

   Lo schema completo dello studio, i criteri per massimi, minimi e flessi, la convessità e la costruzione del grafico qualitativo.

6. Calcolo integrale

   Le primitive e le tecniche di integrazione, l'integrale definito secondo Riemann con il teorema fondamentale del calcolo, e il calcolo delle aree.

7. Integrali impropri

   Come si estende l'integrale a intervalli illimitati e a funzioni illimitate, quali integrali campione fanno da riferimento e come i criteri del confronto stabiliscono la convergenza senza calcolare una primitiva.

8. Serie numeriche

   Che cosa significa sommare infiniti termini, con quali criteri si stabilisce il carattere di una serie, e come si studia una serie di potenze.

9. Equazioni differenziali

   Che cosa sono le equazioni differenziali e il problema di Cauchy, i metodi risolutivi per il primo ordine e per il secondo ordine a coefficienti costanti.