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Worked examples · Sheet 7
Intersezioni di rette e sistemi lineari
Theory used: Sistema di due equazioni in due incogniteMetodo di sostituzioneMetodo di riduzioneSistemi determinati, impossibili e indeterminati
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Esercizio 1
Trova il punto di intersezione delle rette e con il metodo di sostituzione.
Il punto di intersezione ha coordinate che soddisfano entrambe le equazioni, quindi si scrive il sistema. La prima equazione dà già in funzione di , perciò si usa il metodo di sostituzione. Al posto di nella seconda equazione si scrive , e si ottiene un’equazione nella sola incognita . Sommando e si ha ; aggiungendo si ottiene , e dividendo per si trova .
Il valore si sostituisce nella prima equazione e si trova . Il controllo nella seconda equazione dà , quindi le rette si incontrano nel punto .
Esercizio 2
Risolvi con il metodo di riduzione il sistema
Nelle due equazioni la ha coefficienti e , che sono opposti. Per il metodo di riduzione si sommano membro a membro le due equazioni, e i termini e si eliminano. Restano nel primo membro e nel secondo, quindi e .
Per trovare si sostituisce nella prima equazione. Si ottiene ; sottraendo si ha , e dividendo per si trova . Il sistema ha quindi la soluzione , . Il controllo nella seconda equazione dà .
Esercizio 3
Risolvi con il metodo di riduzione il sistema
In questo sistema nessuna incognita ha coefficienti uguali od opposti, quindi prima si moltiplicano le equazioni. Si moltiplica la prima equazione per e la seconda per , così la ha coefficiente in entrambe; si moltiplica ogni termine, compreso il secondo membro. Si ottengono e .
Sottraendo la seconda equazione dalla prima, i termini si eliminano. Nel primo membro resta e nel secondo , quindi . Sostituendo nella prima equazione del sistema dato si ottiene , perciò e . La soluzione è , ; il controllo nella seconda equazione dà .
Esercizio 4
Stabilisci se ciascun sistema è determinato, impossibile o indeterminato, e interpreta il risultato con le rette.
Nel sistema a) si moltiplica la prima equazione per e si ottiene . Sottraendo questa equazione dalla seconda si eliminano sia sia , e resta , cioè , che è falso. Nessuna coppia di numeri soddisfa le due equazioni, quindi il sistema è impossibile. In forma esplicita le due rette sono e . Le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare e ordinate all’origine diverse, perciò sono parallele e distinte e non si incontrano.
Nel sistema b) si moltiplica la prima equazione per e si ottiene . Sommando questa equazione alla seconda si eliminano entrambe le incognite e resta , che è vero per ogni coppia. La seconda equazione è la prima moltiplicata per , quindi le due equazioni rappresentano la stessa retta e il sistema è indeterminato. Ogni punto della retta è una soluzione; per esempio e .